Leibniz

22.3.1 Los efectos renta y sustitución de un aumento de la competencia política

Un cambio en la competencia política modifica el conjunto factible de combinaciones de impuestos anuales y duración esperada en el cargo (en años) para el dictador. En este Leibniz mostraremos cómo desarrollar un modelo del efecto de un cambio de la competencia en la curva de duración y cómo descomponer el efecto sobre la duración en un efecto renta y un efecto sustitución para el caso de una curva de duración lineal.

En el Leibniz 22.2.1 vimos que la curva de duración del dictador viene determinada por la probabilidad $\Delta^p(T)$ de ser destituido del cargo por motivos de desempeño, que dependen de los impuestos que establezca, y la probabilidad de destitución por otros motivos, $\Delta^u$. La ecuación de la curva de duración es $D=1/(\Delta^p(T)+\Delta^u)$. Recuerde también que, cuando $T$ es igual a $C$, el costo de provisión de los servicios, $\Delta^p(T)$, es nulo y $D=1/\Delta^u=D^\text{max}$.

Un incremento de la competencia política implica que la probabilidad de destitución $\Delta^p(T)$ crece y, por tanto, la duración esperada en el cargo disminuye para cualquier nivel de $T \gt C$, mientras que $\Delta^p(C)$ se mantiene en un valor cero. Así pues, la curva de duración pivota sobre el punto $(D^\text{max},\ C)$, como se muestra en la figura 22.9 del texto, reproducida como figura 1 a continuación.

En la figura, el efecto de un aumento de la competencia es un desplazamiento del resultado de B a G: se reduce el nivel de impuestos elegido por la élite política, mientras que la duración del mandato continúa siendo la misma.

Este resultado en el que un aumento de la competencia no cambia la duración en el cargo no será cierto en general, sino que es una propiedad específica de la curva lineal de duración que se muestra aquí. Para comprobar que es así, recuerde que, como ya vimos en el Leibinz 22.2.2, la ecuación de la curva lineal de duración en el cargo puede expresarse como $D = f(T)$, donde:

$$f(T)=D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C)$$

y $s$ es un parámetro constante correspondiente al valor absoluto de la pendiente de la línea de la figura 1: es decir, la tasa marginal de transformación (TMT) del dictador entre $T$ y $D$. El dictador elige $T$ para maximizar su renta $(T-C)D$, sujeto a $D=f(T)$, cuya solución es:

$$T^*=C+\frac{s}{2}D^\text{max}$$ $$D^*=\frac{1}{2}D^\text{max}$$

Un aumento de la competencia política puede representarse en este modelo como una disminución del parámetro $s$, que aplanará la curva de duración en el cargo. Supongamos que inicialmente $s=s_0$ y un incremento de la competencia hace que caiga a $s_1 \lt s_0$. Puede ver inmediatamente con base en la anterior solución que el impuesto $T^*$ disminuye, pero no hay efectos en la duración $D^*$.

Podemos considerar este resultado como el efecto neto de dos cambios de signo contrario provocados por una mayor competencia: un efecto renta y un efecto sustitución. Para comprobar esto, seguiremos los mismos pasos usados en el Leibniz 3.7.1 para calcular los efectos renta y sustitución de un cambio en el salario.

1. ¿Cuál es el efecto general de una caída de $s$ en la duración en el cargo?

Es nulo: $D^*$ sigue siendo $D^\text{max}/2$.

2. Cálculo del efecto renta

¿Qué desplazamiento paralelo de la curva de duración (es decir, un cambio en el conjunto factible sin cambios en la TMT) tendría sobre la renta del dictador el mismo efecto que la disminución de $s$?

Inicialmente la renta es $R_0^*= (T^*-C)D^*=\frac{1}{4}s_0D^{\text{max}^2}$; luego baja a $R_1=\frac{1}{4}s_1D^{\text{max}^2}$. Supongamos que, en lugar de inclinarse hacia dentro, la curva de duración se desplazara en paralelo hacia dentro. Sería algo similar a que la máxima duración hubiera caído a $\overline{D}$, con lo que la curva de duración pasaría a ser:

$$f(T)=\overline{D}-\frac{1}{s_0}(T-C)$$

En este caso, la renta en el punto óptimo del dictador sería $\frac{1}{4}s_0\overline{D}^2$. Por eso este cambio tendría el mismo efecto sobre la renta si:

$$\frac{1}{4}s_0 \overline{D}^2=\frac{1}{4}s_1 D^{\text{max}^2}$$

Resolviendo la ecuación llegamos a $\overline{D}=\sqrt{\frac{s_1}{s_0}}D^\text{max}$.

3. ¿Cómo afectaría este cambio a $D$?

El desplazamiento hacia dentro de la curva de duración en el cargo descrito anteriormente llevaría al dictador a elegir $D_1^*=\frac{\overline{D}}{2}$. Por tanto, el efecto renta lleva a una caída en la duración de:

$$D^*-D_1^*=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{\frac{s_1}{s_0}}\right) D^\text{max}$$

Observe que este desplazamiento también reduce los impuestos.

4. Cálculo del efecto sustitución

El efecto general del aumento de la competencia sobre la duración del dictador en el cargo es cero y, por lo tanto, podemos concluir que el efecto sustitución –que es el efecto del cambio sobre la TMT del dictador únicamente– es el contrario al efecto renta: provoca un aumento de la duración de $D^*-D_1^*$. (Puede verificar que el efecto sustitución reduce los impuestos).

En resumen, un incremento de la competencia política tiene dos efectos sobre el dictador:

• Restringe su conjunto factible, lo que resulta en impuestos menores y también menor duración en el cargo.
• Cambia el trade-off entre duración e impuestos (la TMT), de manera que un incremento de los impuestos tiene un mayor efecto sobre la duración. Esto le lleva a reducir los impuestos más y, de esta manera, aumentar la duración.

La figura 2 muestra la descomposición en efecto renta y efecto sustitución. Como en la figura 1, el efecto general de un aumento de la competencia política es un movimiento de B a G sin cambios en la duración. El efecto renta es el efecto de un desplazamiento paralelo de la curva de duración que proporciona el mismo cambio en la renta que se da en el efecto general. Se representa por la curva de duración punteada, que tiene la misma pendiente que la original, pero una menor duración máxima. Esto provoca un movimiento de B a C, con lo que la duración se reduce a $D_1^*$. El efecto sustitución causa un movimiento de C a G, aumentando la duración de vuelta al nivel original y reduciendo más los impuestos. Es el efecto del cambio en la pendiente (la TMT del dictador).