Leibniz

3.2.1 Curvas de indiferencia y tasa marginal de sustitución

Alexei se preocupa por las notas de sus exámenes y por su tiempo libre. Hemos visto que sus preferencias se pueden representar gráficamente utilizando curvas de indiferencia, y que su disposición a cambiar puntos de calificación por tiempo libre, su tasa marginal de sustitución (TMS), se representa por la pendiente de la curva de indiferencia. Aquí mostramos cómo representar matemáticamente sus preferencias.

utilidad

Indicador numérico de valor que uno asigna a un resultado, de modo que se escojan resultados de mayor valor por encima de otros de menor valor cuando ambos sean factibles.

Recuerde que una curva de indiferencia une combinaciones de puntos de calificación y tiempo libre que le dan a Alexei la misma cantidad de utilidad. Las preferencias se pueden representar matemáticamente escribiendo una función de utilidad, que nos dice cómo las «unidades de utilidad» de una persona dependen de los bienes disponibles. Alexei solo se preocupa por dos cosas: sus horas de tiempo libre y su nota de examen. Si tiene $t$ unidades de tiempo libre y una nota $y$, su utilidad viene dada por una función:

$$U(t,\ y)$$

Dado que tanto la nota como el tiempo libre son bienes —a Alexei le gustaría tener la mayor cantidad posible de ambos—, la función de utilidad debe tener la propiedad de que al aumentar $t$ o $y$, aumenta $U$. En este caso, decimos que la utilidad depende positivamente de $t$ y $y$.

curva de indiferencia

Curva de puntos que indica las combinaciones de bienes que brindan un nivel dado de utilidad al individuo.

La función de utilidad de Alexei tiene dos variables independientes. Del mismo modo que una función de una variable puede representarse gráficamente mediante una curva en un plano, una función de dos variables puede representarse mediante una superficie en un espacio tridimensional. Como los diagramas tridimensionales son difíciles de manejar, los economistas analizan la utilidad gráficamente utilizando la misma técnica que se usa para representar el espacio tridimensional en el que vivimos: un mapa de curvas de nivel. Las curvas de nivel son líneas que unen puntos de igual altura sobre el nivel del mar. De manera similar, las curvas de indiferencia son las curvas de nivel de la superficie de utilidad, pues unen puntos de igual utilidad.

En el caso de Alexei, una curva de indiferencia muestra todas las combinaciones de tiempo libre y nota de examen que le dan el mismo nivel de utilidad. La ecuación de una curva de indiferencia típica es:

$$U(t,\ y)=c$$

donde la constante $c$ representa el nivel de utilidad alcanzado en la curva. Diferentes valores de $c$ corresponden a diferentes curvas de indiferencia: si aumentamos $c$, obtenemos una nueva curva de indiferencia que está por encima y a la derecha de la anterior. Se pueden ver tres de las curvas de indiferencia de Alexei en la figura 3.6 del texto, que reproducimos como la figura 1 a continuación.

La tasa marginal de sustitución

Dada cualquier combinación $(t,\ y)$ de tiempo libre y nota, la tasa marginal de sustitución (TMS) de Alexei (es decir, su disposición a cambiar puntos de nota por una hora más de tiempo libre) viene dada por la pendiente de la curva de indiferencia $U(t,\ y)=c$ que pasa por ese punto.

¿Cómo podemos calcular la pendiente de la curva de indiferencia $U(t,\ y)=c$?

Para hacerlo, necesitamos usar las derivadas parciales de la función de utilidad. Por ejemplo, $\partial U/\partial t$ captura cómo cambia la utilidad cuando $t$ aumenta, manteniendo $y$ constante. En economía, la derivada parcial $\partial U/\partial t$ se conoce como utilidad marginal del tiempo libre. De manera similar, $\partial U/\partial y$ es la utilidad marginal de las notas. Ya hemos señalado que la utilidad depende positivamente de $t$ e $y$. En otras palabras, las utilidades marginales de Alexei son positivas.

Calculamos la pendiente de la curva de indiferencia utilizando una técnica llamada derivación implícita, que volveremos a encontrar en Leibniz posteriores. En este caso, el método implica considerar cómo tendrían que cambiar las calificaciones de los exámenes, si el tiempo libre aumentara en una cantidad pequeña, para mantener la utilidad constante.

Supongamos que tanto $t$ como $y$ cambian en pequeñas cantidades $\Delta t$ y $\Delta y$. La fórmula de incrementos infinitesimales para funciones de dos variables da una aproximación al cambio en la utilidad $\Delta U$, expresándolo como la suma de un «efecto tiempo libre» y un «efecto calificación de examen»:

$$\Delta U \approx \frac{\partial U}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial U}{\partial y} \Delta y$$

Si los cambios $\Delta t$ y $\Delta y$ son tales que Alexei permanece en la misma curva de indiferencia, entonces su utilidad no cambia; así $\Delta U = 0$, lo que implica que

$$\frac{\partial U}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial U}{\partial y} \Delta y \approx 0$$

Reorganizando,

$$\frac{ \Delta y}{\Delta t} \approx - \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right.$$

Los cambios $\Delta t$ y $\Delta y$ juntos producen un pequeño movimiento a lo largo de una curva de indiferencia. Así que, si ahora tomamos el límite cuando $\Delta t\to 0$, el lado izquierdo se acerca a la pendiente de esa curva y la aproximación se convierte en una ecuación.

Así, la pendiente de la curva de indiferencia que pasa por cualquier punto $(t,\ y)$ viene dada por la fórmula:

$$\frac{dy}{dt} = -\frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right.$$

tasa marginal de sustitución (TMS)

Disyuntiva que una persona está dispuesta a enfrentar a la hora de elegir entre dos bienes. En cualquier punto dado, esa trata de la pendiente de la curva de indiferencia. También conocida como: relación marginal de sustitución. Ver también: tasa marginal de transformación.

El lado derecho de esta ecuación es negativo, ya que ambas utilidades marginales son positivas: aumentar el tiempo libre o la calificación del examen aumenta la utilidad de Alexei. Así pues, las curvas de indiferencia son descendentes (pendiente negativa), como en el diagrama. Para reducir la confusión, generalmente definimos la tasa marginal de sustitución (TMS) como el valor absoluto de la pendiente. Así que:

$$\text{TMS} = \left| \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. \right|$$

o, en palabras,

$$\text{tasa marginal de sustitución} = \left| \frac{\text{utilidad marginal del tiempo libre}}{\text{utilidad marginal de las notas}} \right|$$

Definir la TMS como un número positivo nos permite decir, por ejemplo, que la TMS es más alta (Alexei está más dispuesto a cambiar puntos de calificación por tiempo libre) en los puntos donde la curva de indiferencia es más pronunciada, mientras que la pendiente de la curva de indiferencia es más negativa en esos puntos.

La TMS es la tasa a la que Alexei está dispuesto a cambiar puntos de calificación por horas adicionales de tiempo libre. La ecuación anterior, que expresa la TMS como una razón entre utilidades marginales, se puede interpretar de la siguiente manera: la TMS es aproximadamente igual a la utilidad adicional obtenida de una unidad más de tiempo libre, dividida por la utilidad adicional obtenida de un punto más de calificación. Como es habitual a la hora de interpretar afirmaciones exactas resultantes del uso del cálculo en términos de unidades individuales, la aproximación es buena si las unidades son cantidades pequeñas.

Preferencias convexas

Cada curva de indiferencia de la figura 1 se vuelve más plana a medida que nos movemos hacia la derecha.

La TMS de Alexei cae si su tiempo libre aumenta y su calificación en el examen disminuye de tal manera que se mantenga constante su utilidad. Esta propiedad de las preferencias de Alexei se conoce como tasa marginal de sustitución decreciente y generalmente se asume cuando dibujamos curvas de indiferencia con dos productos.

Otra forma de describir este supuesto es observar que las curvas de indiferencia de Alexei son convexas. En términos algebraicos, si reescribimos la ecuación de una curva de indiferencia $U(t,\ y)=c$ en la forma $y=g(t,\ c)$, entonces $g(t,\ c)$ es una función decreciente y convexa de $t$ para un valor dado de $c$. Decimos que Alexei tiene preferencias convexas.

Una persona cuyas preferencias son convexas siempre prefiere combinaciones de bienes a cantidades extremas de cualquiera de los dos bienes. Si dibujamos una línea entre dos puntos en la misma curva de indiferencia, entonces cada punto de la línea es una mezcla de los dos puntos finales. Cuando las curvas de indiferencia son convexas, todos los puntos en la línea entre los puntos finales dan mayor utilidad que los puntos finales.

Daremos un ejemplo de una función de utilidad en la que la TMS es decreciente en la siguiente sección.

Puede leer más sobre este tema en las secciones 14.2 (para la fórmula de pequeños incrementos) y 15.1 (para mapas de curvas de nivel y derivación implícita) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau, 2015. Mathematics for economists: an introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.

Un ejemplo: la función de utilidad de Cobb-Douglas

En esta sección, analizamos una función de utilidad particular que se usa a menudo en los modelos económicos. Derivamos para despejar las utilidades marginales y la tasa marginal de sustitución y verificamos sus propiedades.

Como antes, a Alexei le importa el tiempo libre y su calificación en el examen. Supongamos que su función de utilidad es:

$$U (t,\ y)= t^\alpha y^\beta$$

donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes positivas. Esta función tiene algunas propiedades matemáticas muy prácticas. Se llama función de Cobb-Douglas por las dos personas que la introdujeron en la disciplina de la economía.

Para encontrar las utilidades marginales del tiempo libre y la calificación del examen, debemos calcular las derivadas parciales de la función de utilidad. Derivando $U$ con respecto a $t$, vemos que la utilidad marginal del tiempo libre es:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \alpha t^{\alpha -1} y^\beta$$

Sabemos por la función de utilidad que $t^{\alpha -1} y^\beta = U/t$, lo que nos da una expresión más simple para la utilidad marginal del tiempo libre:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\alpha U}{t}$$

Del mismo modo, la utilidad marginal de la nota de examen es:

$$\frac{\partial U}{\partial y} = \beta t^{\alpha} y^{\beta-1} = \frac{\beta U}{y}$$

Fíjese que, cuando $t$ y $y$ son positivos, también lo es $U$. Por tanto, la suposición de que $\alpha$ es positivo implica que $\partial U/\partial t \gt0$. De la misma manera, $\beta\gt0$ implica que $\partial U/\partial y \gt0$. En otras palabras: la suposición de $\alpha$ y $\beta$ son positivos asegura que «los bienes son buenos»: la utilidad de Alexei aumenta a medida que aumenta el tiempo libre o los puntos de calificación.

En la sección anterior, definimos la tasa marginal de sustitución (TMS) entre el tiempo libre y las notas como el valor absoluto de la pendiente de una curva de indiferencia, y mostramos que era igual a la razón entre la utilidad marginal del tiempo libre y la utilidad marginal de las notas de examen. Con la función de utilidad de Cobb-Douglas:

$$\text{TMS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \frac{\alpha U}{t} \left/ \frac{\beta U}{y} \right. = \frac{\alpha y}{\beta t}$$

Las curvas de indiferencia tienen pendiente decreciente en el espacio $(t,\ y)$; a medida que nos movemos hacia la derecha a lo largo de una curva de indiferencia, $t$ se incrementa y $y$ disminuye y, por tanto, $y/t$ se reduce. Como $\alpha$ y $\beta$ son positivos, entonces la TMS también decrece. Por consiguiente, la función de utilidad de Cobb-Douglas implica TMS decrecientes.

Puede leer más sobre este tema en las secciones 15.1 y 15.2 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: an introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.