Leibniz

3.7.1 Las matemáticas de los efectos ingreso y sustitución

Se ha visto que, cuando estamos decidiendo cuántas horas nos gustaría trabajar al día, el efecto de un cambio salarial sobre la decisión puede descomponerse gráficamente en un efecto ingreso y un efecto sustitución. Este Leibniz muestra cómo hacer esta descomposición matemáticamente.

Hemos hecho un modelo de la decisión sobre las horas de trabajo suponiendo que elegimos un consumo $c$ y unas horas $t$ de ocio para maximizar la utilidad, habida cuenta de que nuestro consumo depende de cuánto ganemos. Podemos escribirlo matemáticamente como un problema de optimización restringida:

$$\begin{align*}\text{maximizar}\ U(t,\ c) \text{ sujeto a}\ c=w(24-t)+I \end{align*}$$

donde $w$ es el salario e $I$ la renta o ingresos que recibiríamos independientemente de las horas de trabajo (por ejemplo, de un misterioso benefactor).

Resolveremos este problema con una función de utilidad concreta

$$U(t,\ c) = tc$$

para hallar la opción óptima de ocio. Y, entonces, podemos averiguar cómo cambia la solución a medida que el salario $w$ varía, y descomponer el cambio en un efecto ingreso y un efecto sustitución.

La condición de primer orden para la optimización iguala la tasa marginal de transformación (TMT) a la tasa marginal de sustitución (TMS). Como vimos en el texto, la TMT es $w$. Para ver esto directamente, recuerde que la restricción de presupuesto $c=w(24-t)+I$ es la ecuación de la frontera factible. La TMT es el valor absoluto de la pendiente de la frontera factible:

$$\text{TMT} = \left|\frac{dc}{dt}\right|=w$$

La TMS puede calcularse usando la fórmula aplicada en otros Leibniz anteriores:

$$\text{TMS} = \left| \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial c} \right.\right| = \frac{c}{t}$$

Por eso, en este caso, la condición de primer orden TMS = TMT nos lleva a $c/t=w$ o su equivalente $wt-c=0$. Los valores óptimos de $t$ y $c$ se hallan resolviendo un par de ecuaciones simultáneas, la condición de primer orden y la restricción:

$$wt - c = 0,\ \ c = w\left( 24 - t \right) + I$$

La solución es:

$$t = 12 + \frac{I}{2w}, \quad c = 12w + \frac{I}{2}$$

Por lo tanto, el número óptimo de horas de tiempo libre es función del salario y de los ingresos adicionales, con las siguientes derivadas parciales:

$$\frac{\partial t}{\partial w} = - \frac{I}{2w^2} \lt0 , \quad \frac{\partial t}{\partial I} = \frac{1}{2w} \gt0$$

Estas dos derivadas parciales nos indican cómo cambiarán las horas de ocio si el salario cambia, o si los ingresos adicionales cambian. La desigualdad $\partial t/\partial I \gt0$ indica que, con esta función de utilidad, el ocio $t$ crece si los ingresos $I$ aumentan y no hay ningún cambio en el salario. Con base en $\partial t/\partial w\lt0$, por otra parte, observamos que $t$ disminuye si $w$ aumenta y no hay cambios en los ingresos adicionales $I$.

En otras palabras, el efecto total de un aumento salarial sin cambios en los ingresos adicionales $I$, representado por $\partial t/\partial w$, es negativo. Este efecto total puede descomponerse en un efecto ingreso y un efecto sustitución. Consideremos un ejemplo numérico para ver cómo.

Un ejemplo numérico

Supongamos que $w = 16$ e $I= 160$. Introduciendo estos valores en las ecuaciones de la solución anterior, calculamos la elección óptima de horas de tiempo libre y dólares de consumo, que es:

$$t_0 = 12 + \frac{160}{2 \times 16} =17, \quad c_0 = 12 \times 16 + \frac{160}{2} = 272$$

El nivel de utilidad es $U_0=t_0 \times c_0 =17 \times 272 = 4624$.

Supongamos ahora que el salario sube a 25, mientras que los ingresos adicionales se mantienen en 160. Primero calcularemos el efecto general del aumento salarial en la elección de tiempo para el ocio y después lo descompondremos.

1. ¿Cuál es el efecto total del aumento salarial?

Con $w=25$ e $I=160$, la opción óptima para $t$ y $c$ es:

$$t_1 = 12 + \frac{160}{2 \times 25} =15,2, \quad c_1 = 12 \times 25 + \frac{160}{2} = 380$$

El nivel de utilidad aumenta a $U_1=15,2 \times 380 = 5776$.

Se puede observar que el efecto general de aumentar el salario de 16 a 25, mientras que los ingresos adicionales se mantengan constantes en 160, es una reducción del tiempo libre:

$$t_1-t_0=15,2-17=-1,8$$

2. ¿Qué cambio en los ingresos adicionales tendría el mismo efecto en la utilidad que el aumento salarial?

Suponga que el salario hubiera permanecido en $w=16$, pero los ingresos adicionales hubieran pasado de 160 a $J$. Para llegar a un nivel de utilidad de 5776, $J$ debe satisfacer la ecuación:

$$\left(12 + \frac{J}{32}\right)\left(192 + \frac{J}{2}\right) = 5776$$

Podemos escribir esta ecuación como $(384 + J)^2 = 64 \times 5776$. Haciendo la raíz cuadrada de ambos lados (solo la raíz cuadrada positiva tiene sentido económico), obtenemos $384 + J = 608$ y, por lo tanto, $J=224$.

En consecuencia, aumentar los ingresos de 160 a 224, manteniendo el salario en 16, tendría el mismo efecto en la utilidad que el aumento salarial de 16 a 25.

3. Cálculo del efecto ingreso

Para conocer el efecto ingreso, calculamos cómo el cambio en los ingresos equivalente al cambio de salario afectaría a la elección de tiempo de ocio.

Con el aumento de los ingresos a 224 y un salario de 16, la elección óptima de horas de ocio es:

$$t_2 = 12 + \frac{224}{2 \times 16} =19$$

Esto indica el efecto ingreso del aumento salarial. El aumento salarial aumenta la utilidad a 5776. Si esa utilidad se hubiera logrado aumentando los ingresos, las horas de tiempo libre habrían cambiado de $t_0=17$ a $t_2=19$. El efecto sobre los ingresos es $t_2-t_0=19-17=+2$.

4. Cálculo del efecto sustitución

El efecto general del aumento salarial es variar el ocio de $t_0$ a $t_1$. Es la suma del efecto ingreso (el cambio de $t_0$ a $t_2$) y el efecto sustitución, que es, por tanto, el cambio de $t_2$ a $t_1$.

Efecto ingreso	$t_2-t_0=+2$
Efecto sustitución	$t_1-t_2=-3,8$
Efecto general	$t_1-t_0=-1,8$

El efecto sustitución es el efecto sobre la elección de horas de ocio de un cambio salarial de 16 a 25, pero ajustando los ingresos para mantener la utilidad constante en 4624.

Para leer más: secciones 14.1, 17.1 y 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.