Leibniz

5.8.1 La curva de eficiencia de Pareto

A partir de la interacción entre Ángela y Bruno surgen muchas asignaciones posibles. Por ejemplo, hemos visto la asignación que Bruno impondría si pudiera usar la fuerza y la que elige cuando puede hacer una oferta –estilo tómalo o déjalo– planeando un contrato en el que Ángela puede trabajar la tierra si le paga el alquiler en especie con parte del grano producido. En este Leibniz elaboramos matemáticamente el conjunto de asignaciones que son eficientes en términos de Pareto: es decir, la curva de eficiencia de Pareto.

eficiencia de Pareto

Asignación con la propiedad de que no existe una asignación alternativa técnicamente factible en la que, al menos una persona estaría mejor y nadie peor.

Una asignación factible es eficiente en términos de Pareto si no existe una asignación dominante en términos de Pareto: es decir, nadie puede mejorar sin empeorar la situación de otro. Por eso, para buscar una asignación eficiente de Pareto entre Bruno y Ángela, empezamos con sus preferencias, es decir, con lo que les haría estar mejor.

A Ángela le importa el ocio y el grano que consume. Tiene una función de utilidad cuasilineal y, al igual que en el Leibniz 5.4.1, la escribimos como:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

donde $t$ son sus horas diarias de ocio; $c$, la cantidad de grano que consume diariamente, y la función $v$ es creciente y cóncava.

Las preferencias de Bruno son muy simples. Solo le preocupa la cantidad de grano que recibe, que llamaremos $R$. Cuanto mayor sea $R$, mejor será la situación de Bruno.

El conjunto económicamente factible

A continuación determinamos qué asignaciones son económicamente factibles o viables. La cantidad total de grano disponible para Ángela y Bruno es la cantidad que Ángela produce usando parte de su tiempo para cultivar la tierra. Como en el Leibniz 5.4.1, suponemos que, cuando Ángela dedica $t$ horas diarias al ocio, produce $g(t)$ unidades de grano. Suponemos de nuevo que $g$ es una función con pendiente decreciente y cóncava: $g'(t)\lt0$ y $g''(t)\lt0$.

$g(t)$ es la cantidad máxima de grano que Bruno y Ángela pueden consumir en total. En consecuencia, la frontera factible para su interacción es:

$$c+R = g(t)$$

Supongamos que, si Ángela no trabajara y recibiera raciones de supervivencia del gobierno, su nivel de utilidad sería $u_0$. Solo estará dispuesta a trabajar si trabajando está al menos tan bien como no trabajando. Su curva de indiferencia de reserva es:

$$v(t) + c=u_0$$

Bruno no estará dispuesto a participar en la interacción, a menos que la cantidad de grano que reciba sea a lo sumo cero: $R\geq0$ (ya que una cantidad negativa de grano significaría dar algo de grano adicional de su propio almacén a Ángela).

El conjunto económicamente factible es el conjunto de asignaciones de grano para Ángela, $c$, grano para Bruno, $R$, y ocio para Ángela, $t$, tal que:

$$c+R \leq g(t),\ R\geq 0 \mbox{ y } v(t) + c \geq u_0$$

Estas son las asignaciones en las cuales la cantidad total de grano consumido es menor o igual a lo producido, y Ángela y Bruno reciben al menos su utilidad de reserva.

La condición de primer orden para las asignaciones eficientes en términos de Pareto

Una manera de calcular las asignaciones eficientes en términos de Pareto en la interacción entre Ángela y Bruno es decir: «supongamos una asignación en la que Bruno recibe una cantidad de grano $R\geq 0$. En este caso, la asignación de grano será eficiente en términos de Pareto si, y solo si Ángela está en la mejor situación posible, dada la cantidad de grano de Bruno, y si su propia utilidad es al menos $u_0$».

Esto significa, en primer lugar, que en una asignación eficiente en términos de Pareto todo el grano producido debe ser consumido. Por eso, si la cantidad de grano producido es $g(t)$ y Bruno consume $R$, Ángela debe consumir el resto: $c+R = g(t)$. No sobra grano.

En segundo lugar, sujetos a la restricción de que todo el grano se consume, $c$ y $t$ deben maximizar juntos la utilidad de Ángela. En otras palabras, dado $R$, una asignación $(t,\ c,\ R)$ puede ser eficiente en términos de Pareto solo si:

$$\text{se eligen }t \text{ y }c \text{ para maximizar }v(t)+c , \text{ sujeto a la restricción de que }c+R=g(t)$$

bajo la condición de que esto le proporcione a Ángela su utilidad de reserva. Este problema de optimización restringida se puede resolver usando primero la restricción para sustituir $c$. Como $c=g(t)-R$, lo único que hay que hacer es:

$$\text{elegir }t \text{ para maximizar }v(t) + g(t) -R$$

Después, derivando respecto de $t$ e igualando la derivada a cero, se halla la condición de primer orden:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Esta ecuación se presentó antes en el Leibniz 5.4.2, donde vimos que suponer la concavidad de las funciones $v$ y $g$ implica que la ecuación tiene, como máximo, una solución. Suponemos que existe una solución que designamos $t^*$.

Considere que el problema de optimización restringida que hemos resuelto es el que Ángela resolvería si Bruno exigiera un alquiler $R$ y ella pudiera elegir $c$ y $t$. La condición de primer orden es la conocida ecuación $\text{TMT} = \text{TMS}$, donde la $\text{TMT} = -g’(t)$ y la $\text{TMS} = v’(t)$. En el Leibniz 5.4.2 se resolvió el problema para el caso en el que ella era una agricultora independiente ($R=0$). Se ha demostrado que la elección de $t$ que haría Ángela sería la misma, independientemente de la cantidad de alquiler que se le cobre.

Trazado de la curva de eficiencia en términos de Pareto

Ya hemos visto que, dado un consumo de grano $R$ por parte de Bruno, hay exactamente una asignación eficiente en términos de Pareto: el ocio de Ángela es $t^*$, la solución a la condición de primer orden:

$$v'(t^*) + g'(t^*)=0$$

y su consumo de grano es $g(t^*)-R$. Para hallar esta asignación, se comienza fijando arbitrariamente $R$. De hecho, existen infinitos valores factibles para $R$ y para cada uno de ellos existe la correspondiente asignación eficiente en términos de Pareto.

El conjunto de todas las asignaciones eficientes en términos de Pareto, es decir, la curva de eficiencia en términos de Pareto, es el conjunto de todos los puntos $(t,\ c,\ R)$ que satisfacen la condición de primer orden y todas las restricciones que determinan el conjunto económicamente factible. En consecuencia, ese conjunto viene dado por las condiciones:

$$t=t^*, \quad c+R=g(t^*), \quad c+v(t^*)\geq u_0, \quad R\geq 0$$

En el ejemplo de la figura 5.8 del texto, reproducido aquí como figura 1, $t^*=16$. Las asignaciones eficientes en términos de Pareto se encuentran en la línea vertical $t=16$, y la cantidad de grano producido es $g(16)=9$ fanegas. Los puntos de esta línea vertical son los puntos donde la TMS de Ángela entre ocio y grano es igual a la TMT. No obstante, no todos los puntos de esta línea cumplen las demás restricciones. El conjunto de todas las asignaciones eficientes en términos de Pareto se encuentra entre los puntos C y D. En la asignación representada por el punto G, por ejemplo, Bruno obtiene una cantidad de grano $R$ dada por GC, y Ángela obtiene el resto.

Las asignaciones con mayor $R$ y menor $c$ están más cerca de D. Son más beneficiosas para Bruno que para Ángela. Por el contrario, las asignaciones más cercanas a C son mejores para Ángela que para Bruno.

El resultado de que el ocio de Ángela sea el mismo en todas las asignaciones eficientes en términos de Pareto es una consecuencia de tener una función de utilidad cuasilineal y no se obtendría con formas alternativas de $U$. En otros casos, la curva de eficiencia en términos de Pareto estaría dentro del área con forma de lente que muestra la figura 1, pero no sería una línea recta vertical.

La curva de eficiencia en términos de Pareto: Dos ejemplos

Nuestro primer ejemplo muestra los principios de las dos secciones anteriores utilizando funciones específicas de utilidad y producción. Después veremos un segundo ejemplo en el que la función de utilidad de Ángela no es cuasilineal y la curva de eficiencia de Pareto es en realidad una curva, y no una línea vertical.

1. Funciones específicas de utilidad y producción

Como en el Leibniz 5.4.2, suponemos que la frontera factible y la función de utilidad de Ángela se expresan como:

$$g(t)=2\sqrt{48 -2t}, \quad U(t,\ c) = 4\sqrt{t} + c$$

En consecuencia, los términos denotados por $g'(t)$ y $v'(t)$ son, respectivamente:

$$\frac{d}{dt} \left(2(48 -2t)^{1/2}\right) = -2(48 -2t)^{-1/2}, \quad \frac{d}{dt} \left(4t^{1/2}\right) = 2t^{-1/2}.$$

Así pues, $t^*$, las horas diarias de ocio de Ángela en todas las asignaciones eficientes en términos de Pareto es la solución a la ecuación:

$$\frac{2}{\sqrt{t}} - \frac{2}{\sqrt{48-2t}} = 0$$

Esta ecuación implica que:

$$t=48-2t$$

Por lo tanto, $t^*=16$ y la cantidad de grano producido es $g(t^*)= 2\sqrt{48 -32}=8$. Así, en este ejemplo, cada asignación eficiente en términos de Pareto $(t,\ c,\ R)$ debe ser tal que:

$$t=16, \quad c+R=8$$

Además, tanto Ángela como Bruno deben recibir como mínimo su utilidad de reserva. La de Ángela se alcanza cuando no trabaja $(t = 24)$ y consume 2 unidades diarias de grano suministradas por el gobierno. Por lo tanto, su utilidad de reserva es $4\sqrt{24} + 2$. En consecuencia, una asignación eficiente de Pareto, con $t^*=16$, debe cumplir:

$$4\sqrt{16} +c\geq 4\sqrt{24}+2$$

Resolviendo esta desigualdad, obtenemos:

$$c\geq 5,596$$

con tres decimales. La cantidad de grano $R$ que reciba Bruno debe ser al menos cero. El valor máximo posible de $R$ es la cantidad que le reporta a Ángela lo menos posible. Como $c+R=8$, tenemos $R=8-5,596=2,404$ con tres decimales. En resumen, el rango posible para Bruno es:

$$0 \leq R \leq 2,404$$

2. Utilidad Cobb-Douglas

En este caso, la función de utilidad de Ángela tiene la forma Cobb-Douglas:

$$U(t,\ c) = t^{\alpha} c^{1- \alpha}$$

donde $0\lt \alpha \lt1$. Para facilitar el cálculo, suponemos que $\alpha= \dfrac{8}{13}$. La tasa marginal de sustitución de Ángela (TMS) entre el ocio y el consumo de grano viene dada por la fórmula habitual (véase el Leibniz 3.4.1):

$$\text{TMS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial c} \right. = \frac{\alpha c}{(1-\alpha)t} = \frac{8c}{5t}$$

Sea la ecuación de la frontera factible $y=g(t)$. Para evitar que las operaciones algebraicas se compliquen mucho, suponemos que $g$ tiene una forma diferente a la del primer ejemplo:

$$g(t)= \frac{576 - t^2}{40}$$

Aunque la gráfica de esta función no es la misma que la de la frontera del ejemplo anterior, tiene la misma forma general y vuelve a pasar por los puntos $(24, 0)$ y $(16, 8)$. La tasa marginal de transformación entre el ocio de Ángela y su producción de grano es, como de costumbre, el valor absoluto de la pendiente de la frontera factible (descendente):

$$\text{TMT} = - g'(t) = \frac{t}{20}$$

Dado el alquiler $R$ que cobra Bruno, la eficiencia en términos de Pareto de la asignación $(t,\ c,\ R)$ exige

$$\text{elegir }t \text{ y }c \text{ para maximizar }U(t,\ c), \text{sujeto a la restricción de que }g(t) - c =R$$

La condición de primer orden para la maximización, $\text{TMT} = \text{TMS}$, implica que $t^2/4 =8c$. Reordenando la expresión,

$$c=\frac{t^2}{32}$$

Los puntos que cumplen esta condición en el cuadrante positivo del plano $t-c$ forman la parte creciente de una parábola. La curva de eficiencia en términos de Pareto es la sección de esta curva que es económicamente factible.

En la asignación eficiente de Pareto que es mínimamente aceptable para Bruno, él no recibe ningún alquiler y Ángela consume todo el grano que se produce. Por lo tanto, en esa asignación,

$$c=\frac{t^2}{32} \, \text{ y } \, c= \frac{576 - t^2}{40}$$

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda, y multiplicando por 40, se observa que $5t^2/4 = 576 - t^2$. Por consiguiente:

$$t^2 = \frac{-76}{9/4} = 64 \times 4$$

De aquí se deduce que $t = 16$ y $c = t^2/32 = 8$: la asignación eficiente en términos de Pareto en la que Bruno no recibe grano (es decir, Ángela no paga alquiler) es la misma que en el ejemplo anterior. (Hemos elegido los números para que ocurra esto).

Ahora encontramos la asignación eficiente de Pareto que Ángela considera solo mínimamente aceptable. Como en el ejemplo anterior, puede obtener su utilidad de reserva si no trabaja y consume 2 fanegas diarias de grano. Esta es la asignación eficiente en términos de Pareto en la que Ángela también obtiene su utilidad de reserva,

$$c=\frac{t^2}{32} \, \text{ y } \, t^{\alpha} c^{1- \alpha} = 24^{\alpha} \times 2^{1- \alpha}$$

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda, $t^{2- \alpha} \! \left/ 32^{1- \alpha} \right. = 24^{\alpha} \times 2^{1- \alpha}$. Por lo tanto:

$$t^{2- \alpha} = 24^{\alpha} \times 64^{1- \alpha} = 3^{\alpha} \times 8^{2- \alpha}$$

Como $\alpha= \dfrac{8}{13}$, $\, \dfrac{\alpha}{2- \alpha}= \dfrac{4}{9}$. Entonces,

$$t = 3^{4/9} \times 8 = 13,036, \quad c = \frac{t^2}{32}= 5,311, \quad y = \frac{576 - t^2}{40}= 10,152$$

todo con tres decimales. El alquiler de Bruno $y-c$ es 4,841, con tres decimales también. Como Ángela obtiene su utilidad de reserva, este es el alquiler más alto que Ángela estará dispuesta a pagar a cambio de poder trabajar en la tierra de Bruno.

En resumen: en este caso, la función de utilidad de Ángela no es cuasilineal. Sus horas de ocio y, por tanto, de trabajo, no son las mismas en todas las asignaciones eficientes en términos de Pareto. La curva de eficiencia en términos de Pareto en el plano $tc$ no es una línea vertical, sino la rama ascendente de la parábola $c=t^2/32$ correspondiente a asignaciones que son económicamente factibles. Estas van desde el punto $(13,036,\ 5,311)$, donde Ángela obtiene su utilidad de reserva y Bruno su alquiler máximo de 4,841 fanegas de grano diarias, hasta el punto $(16,\ 8)$, donde Ángela consume todo el grano que produce y Bruno no recibe alquiler.

Para asegurarse de que entiende completamente este ejemplo, intente dibujar la curva y compararla con la del caso cuasilineal.