Leibniz

8.6.1 Cambios en la demanda y la oferta

El precio y la cantidad del equilibrio competitivo se hallan en el punto donde se cruzan las curvas de oferta y demanda. Si se produce un shock que desplaza una de las curvas, tanto el precio como la cantidad de equilibrio cambian. En este Leibniz mostramos cómo hacer un modelo matemático de los efectos de un shock de oferta o de demanda.

Para encontrar el precio y la cantidad de equilibrio competitivo en un mercado, necesitamos resolver dos ecuaciones simultáneamente –la curva de demanda $Q=Q^D(P)$ y la curva de oferta $Q=Q^S(P)$– para $P$ y $Q$. En el equilibrio competitivo, el precio iguala la demanda y la oferta:

$$Q^D(P)=Q^S(P)$$

Como vimos en el Leibniz 8.4.2, si conocemos las funciones de demanda y oferta podemos hallar el precio de equilibrio resolviendo esta ecuación y, en consecuencia, encontrar la cantidad de equilibrio. Pero, ¿qué sucede cuando cambia una de estas funciones?

Considere el caso que analizamos en el Leibniz 8.4.2 de un mercado en el que ambas funciones, oferta y demanda, son lineales:

$$Q^D(P)=a-bP, \quad Q^S(P)=c+dP$$

donde $a, b, c, d$ son constantes. Suponemos que $a,\ b$ y $d$ son todos positivos, de manera que queda garantizado que la curva de demanda es decreciente y la de oferta creciente. Así pues, existe como mucho un precio de equilibrio. Siempre que $a \gt c$ y $ac + bd \gt 0$, existe un precio de equilibrio positivo $P^*$ y una cantidad de equilibrio positiva $Q^*$, determinados por:

$$P^*=\frac{a-c}{b+d}, \quad Q^*= a-bP^* = \frac{ad+bc}{b+d}$$

Supongamos que en este mercado se produce un shock positivo de demanda. La cantidad demandada es ahora mayor para cualquier precio. Podemos hacer un modelo de un shock de demanda como un cambio $\Delta a$ en el parámetro $a$. La nueva curva de demanda es $Q=a+\Delta a-bP$, donde $\Delta a \gt 0$ corresponde a un shock positivo (un $\Delta a \lt 0$ implicaría un shock negativo en el que la cantidad demandada caería para cualquier precio).

Para hallar el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio podríamos resolver de nuevo las funciones para $P^*$ y $Q^*$ usando la nueva curva de demanda. Sin embargo, es más rápido y más sencillo centrarnos en las soluciones anteriores para $P^*$ y $Q^*$ y calcular cómo cambian cuando cambia $a$:

$$\Delta P^*=\frac{\Delta a}{b+d}, \quad \Delta Q^*= \frac{d\Delta a}{b+d}$$

Si no está seguro de cómo se llega a estos resultados, puede obtenerlos escribiendo un paso intermedio. Por ejemplo, el cambio en $P^*$ se obtiene mediante:

$$\Delta P^*=\frac{a+\Delta a-c}{b+d}-\frac{a-c}{b+d}=\frac{\Delta a}{b+d}$$

A partir de las expresiones para $\Delta P^*$ y $\Delta Q^*$ resulta evidente de inmediato que un aumento de la demanda ($\Delta a \gt 0$) incrementa tanto el precio como la cantidad de equilibrio. Observe que, si la cantidad demandada para cualquier precio aumenta en una unidad ($\Delta a = 1$), entonces el aumento en la cantidad demandada y ofertada en equilibrio es $d/(b+d)$, que es positiva pero menor que 1. Así pues, el incremento de la demanda significa que los consumidores compran más, pero también aumenta el precio, por lo que los consumidores comprarán menos de lo que lo habrían hecho si no se hubiera producido el cambio en el precio.

El shock de demanda que hemos analizado aquí es bastante parecido al ejemplo de un aumento en la demanda de libros mostrado en la figura 8.11 del texto, reproducida como figura 1 a continuación. Las funciones de oferta y demanda de libros son lineales y el gráfico muestra que, si el número de libros aumenta para cada precio, la curva de demanda se desplaza hacia la derecha y el precio y la cantidad de equilibrio aumentan. La única diferencia es que un cambio $\Delta a$ en el parámetro $a$ provoca un desplazamiento paralelo de la curva de demanda, mientras que en la figura 1 también cambia la pendiente.

En el texto también consideramos un ejemplo de un shock positivo de oferta: una mejora tecnológica que permitía a las panaderías producir más a un precio menor. Describimos esto en la figura 8.12, reproducida aquí como figura 2 a continuación. (Las curvas de oferta y demanda de este gráfico no son lineales, pero la teoría es la misma.) Cuando el coste marginal de hacer pan se reduce, la curva de oferta de las panaderías se desplaza hacia abajo y el nuevo equilibrio de mercado está en el punto B.

Este shock de oferta significa que las panaderías están dispuestas a ofrecer más pan a cualquier precio. Puede representarse en nuestro ejemplo lineal con un cambio $\Delta c \gt 0$ en el parámetro $c$. (De nuevo, $\Delta c \lt 0$ implicaría que las empresas ofrecerían menos pan para cada precio). El efecto de este cambio sobre el precio y la cantidad de equilibrio es:

$$\Delta P^*= - \frac{\Delta c}{b+d}, \quad \Delta Q^*= \frac{b\Delta c}{b+d}$$

(Como hizo antes, escriba el paso intermedio si no está seguro de dónde proceden estos resultados).

En este caso podemos concluir que, como $\Delta c \gt 0$, el efecto del shock es aumentar la cantidad y reducir el precio (como se observa en la figura 2).

El caso no lineal

Si las curvas de demanda y oferta no son lineales, puede ser complicado hallar una solución explícita para el precio y la cantidad de equilibrio. Pero, aun así, es posible hacer un modelo del efecto de un shock que desplace una de las curvas y calcular cómo afecta al equilibrio. En el texto, hicimos esto gráficamente para el ejemplo del mercado del pan. Haremos lo mismo aquí de manera algebraica.

Escribiremos la curva de demanda del pan como $Q=Q^D(P,\ a)$. La cantidad demandada disminuye con el precio $P$, como antes, pero también depende de un parámetro $a$ que captura los gustos de los consumidores. Un valor elevado de $a$ representa una situación en la que a los consumidores les gusta mucho el pan, por lo que comprarán una gran cantidad para cualquier precio. Cuando $a$ es bajo, se demanda menos pan para cualquier precio. La dependencia de la demanda respecto de $P$ y $a$ puede describirse usando las derivadas parciales:

$$\frac{\partial Q^D}{\partial P} \lt 0; \quad \frac{\partial Q^D}{\partial a} \gt 0$$

Así pues, un shock positivo de demanda puede representarse como un aumento del parámetro $a$ y tiene el efecto de elevar la cantidad demandada para cada precio. Cuando la curva de demanda se traza en el espacio $(Q,\ P)$, como se hace habitualmente, se hace para un valor fijo de $a$. Un aumento de $a$ desplaza hacia la derecha la curva de demanda. De igual modo, una reducción de $a$ representa un shock negativo de demanda y desplaza la curva a la izquierda.

Del mismo modo, escribiremos la curva de oferta del pan como $Q=Q^S(P,\ c)$, donde se introduce el parámetro $c$ para hacer un modelo de los shocks de oferta. Podemos considerar que $c$ representa la tecnología. Un aumento de $c$ se corresponde con una mejora tecnológica que reduce el costo marginal de producir pan y, en consecuencia, implica que las panaderías ofrecerán más pan para cualquier precio. Usando derivadas parciales:

$$\frac{\partial Q^S}{\partial P} \gt 0; \quad \frac{\partial Q^S}{\partial c} \gt 0$$

Una mejora tecnológica se modela como un aumento de $c$ que desplaza la curva de oferta hacia la derecha. Este es el caso que se ilustra en la figura 2.

Para cualquier valor concreto de $a$ y $c$, la curva de demanda es decreciente y la de oferta creciente en el espacio $(Q,\ P)$. En consecuencia, existe como máximo un precio de equilibrio $P^*$ y su correspondiente cantidad de equilibrio $Q^*$. Pero, si cambian $a$ y $c$, también cambiarán $P^*$ y $Q^*$. Por tanto, $P^*$ y $Q^*$ dependen de $a$ y $c$, y podemos expresarlas escribiéndolas como funciones:

$$P^* = F(a,\ c), \quad Q^* = G(a,\ c)$$

Queremos saber cómo cambian $P^*$ y $Q^*$ cuando cambian $a$ y $c$. En otras palabras, queremos conocer los signos de las derivadas parciales de $P^*$ y $Q^*$ respecto de $a$ y $c$. Para ello usamos la técnica de la derivación implícita. Empezaremos con las derivadas parciales respecto de $a$, que nos indicarán el efecto de un shock de demanda sobre el equilibrio.

El precio de equilibrio $P^*$ cumple la ecuación que sitúa el mercado en equilibrio:

$$Q^D(P^*,\ a)=Q^S(P^*,\ c)$$

Derivamos ambos lados de esta ecuación respecto de $a$, recordando que $P^*$ es una función de a (es decir, $P^* = F(a,\ c)$). Obtenemos:

$$\frac{\partial Q^D}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a}+ \frac{\partial Q^D}{\partial a} =\frac{\partial Q^S}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a}$$

Esta ecuación puede reordenarse para escribir $\partial P^*/\partial a$ en función de las otras derivadas parciales:

$$\frac{\partial P^*}{\partial a} =\frac{\frac{\partial Q^D}{\partial a}} {\frac{\partial Q^S}{\partial P}-\frac {\partial Q^D}{\partial P} }.$$

El denominador de esta fracción es positivo porque sabemos que $\partial Q^S/\partial P \gt 0$ y $\partial Q^D/\partial P \lt 0$. El numerador también es positivo debido a la manera en que se especificó la función de demanda anteriormente. Por tanto, podemos concluir que $\partial P^*/\partial a \gt 0$. De este modo, un shock positivo de demanda (un aumento de $a$) lleva a un aumento del precio de equilibrio.

Para hallar $\partial Q^*/\partial a$, usamos la ecuación para $Q^*$:

$$Q^*=Q^S(P^*,\ c)$$

recordando de nuevo que $P^*$ es una función de $a$. Diferenciando respecto de $a$:

$$\frac{\partial Q^*}{\partial a} =\frac{\partial Q^S}{\partial P^*} \frac{\partial P^*}{\partial a}$$

A partir de esta expresión, como $\partial Q^S/\partial P^*\gt0$ y, como acabamos de mostrar, $\partial P^*/\partial a\gt0$, deducimos que $\partial Q^*/\partial a\gt0$. De este modo, un shock positivo de demanda (un aumento de $a$) lleva a un aumento tanto del precio como de la cantidad de equilibrio, y un shock negativo de demanda tiene los efectos contrarios.

Para calcular el efecto de un shock de oferta, necesitamos hallar las derivadas parciales de $P^*$ y $Q^*$ respecto de c de la misma forma que lo hicimos antes. Empezamos derivando la ecuación del equilibrio de mercado respecto de c para obtener una expresión de $\partial P^*/\partial c$. Luego usamos la ecuación de la curva de oferta o la de la curva de demanda (la segunda es más sencilla en este caso) para establecer el signo de $\partial P^*/\partial c$. Si hace esto con cuidado, debería concluir que $\partial P^*/\partial c\lt0$ y $\partial Q^*/\partial c\gt0$, por lo que un shock positivo de oferta eleva la cantidad y reduce el precio.

Este análisis ha demostrado que los efectos cualitativos de los shocks de demanda y oferta sobre el precio y la cantidad de equilibrio son los mismos que vimos gráficamente en el texto, cualquiera que sea la forma concreta de las funciones de demanda y oferta, siempre que estas tengan las propiedades habituales: es decir, si la curva de demanda tiene pendiente negativa y la curva de oferta pendiente positiva.

Puede leer más sobre este tema en la sección 15.2 y los dos primeros párrafos de la sección 15.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.