Leibniz

7.4.1 Las curvas de isobeneficio y sus pendientes

El beneficio de una empresa es la diferencia entre sus ingresos (el precio multiplicado por la cantidad vendida) y sus costos totales. Si conocemos la función de costos de la empresa, $C(Q)$, podemos determinar sus curvas de isobeneficio, las combinaciones de $P$ y $Q$ que proporcionan la misma cantidad de beneficio. En este Leibniz, obtenemos la ecuación de una curva isobeneficio, explicamos su forma y hallamos su pendiente.

El beneficio económico es ingresos menos costos. Para una empresa manufacturera como Autos Hermosos, el beneficio depende de la cantidad producida ($Q$) y el precio al que puede venderse cada unidad. Llamamos $\Pi$ al beneficio, como antes. Si la función de costos de la empresa es $C(Q)$, entonces su beneficio puede escribirse como una función de $P$ y $Q$:

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

Las curvas de isobeneficio son una familia de curvas en el plano $QP$, cada una de las cuales se corresponde con un nivel concreto de beneficio. La ecuación de una curva de isobeneficio típica es:

$$PQ - C(Q) = k$$

donde $k$ es una constante que representa el nivel de beneficios. Existe una curva diferente para cada valor de $k$. Representaremos las curvas de isobeneficio en un gráfico con $P$ en el eje vertical, por lo que es útil reescribir esta ecuación de una manera que exprese $P$ como función de $Q$:

$$P = \frac{C(Q) + k}{Q}$$

Esta ecuación implica que, si $k$ aumenta, entonces $P$ también se incrementa para cualquier $Q$. Esto significa que, en un gráfico que describa la familia de curvas de isobeneficio, las curvas más altas se corresponderán con mayores niveles de beneficio. Puede observarlo en los gráficos del texto para los de manzana y canela (figura 7.4) y Autos Hermosos (figura 7.10), reproducidos aquí como figuras 1 y 2.

Explicaremos ahora por qué las curvas de isobeneficio de estas dos empresas tienen las formas que mostramos en este gráfico. La ecuación de la curva de isobeneficio correspondiente al nivel de beneficio $k$ puede escribirse como:

$$P = \frac{C(Q)}{Q} + \frac{k}{Q}$$

O, expresado de otra manera:

$$P = \text{CMe} + \frac{k}{Q}$$

Centrémonos en primer lugar en el caso en que $k = 0$: la curva de beneficio económico nulo. Fijar $k = 0$ en la ecuación anterior muestra que la curva de beneficio económico nulo es la curva de costo medio (CM). En todos los puntos situados bajo esta curva en el gráfico, la empresa tendría pérdidas. Para los Cheerios de manzana y canela, el costo medio es constante: cuesta 2 euros producir cada libra, ya sea grande o pequeña la cantidad total. Por eso la curva de beneficio económico nulo es una línea horizontal en $P = 2$. Autos Hermosos tiene una curva de costo medio con forma de U y, en consecuencia, una curva de beneficio económico nulo con forma de U.

Ahora consideremos las curvas correspondientes a los niveles positivos de beneficio, $k\gt0$. En este caso, la ecuación de la curva de isobeneficio expresa $P$ como la suma de CM y $k/Q$. Observe que $k/Q$ es elevada cuando $Q$ es pequeña y

$$\frac{d}{dQ} \left( \frac{k}{Q} \right) = - \frac{k}{Q^2} \lt0, \quad \frac{d^2}{dQ^2} \left( \frac{k}{Q} \right) = \frac{2k}{Q^3} \gt0$$

Por eso $k/Q$ es una función decreciente y convexa de $Q$.

La forma de las curvas de isobeneficio depende de las formas de $k/Q$ y de la curva de CM. El caso de los Cheerios de manzana y canela es particularmente sencillo. El CM viene representado por una línea horizontal y la ecuación de las curvas de isobeneficio es $P = 2+k/Q$. Por este motivo, las curvas de isobeneficio son decrecientes y convexas—al igual que en el caso de $k/Q$—, tal y como vemos en la figura 1.

Para Autos Hermosos, la curva CM tiene forma de U y, por tanto, es convexa, con un punto mínimo en $Q = 40$ (punto B). La curva de isobeneficio correspondiente a un nivel de beneficio $k\gt0$ debe ser convexa también, puesto que la suma de dos funciones convexas es siempre convexa (la segunda derivada de $f(x) + g(x)$ es $f''(x) + g''(x)$, que es positiva si $f''(x)$ y $g''(x)$ son positivas).

Si $0\lt Q\lt40$, tanto $C(Q)/Q$ como $k/Q$ son funciones decrecientes de $Q$, por lo que la curva de isobeneficio tendrá pendiente negativa. Si $Q$ es grande, la derivada de $k/Q$ tiende a cero y la pendiente de la curva de isobeneficio será casi igual a la pendiente de $C(Q)/Q$: la curva isobeneficio tendrá pendiente positiva (como la tiene la curva CM). En consecuencia, la curva de isobeneficio para $k\gt0$, como la curva CM, tiene forma de U con un punto mínimo en algún valor positivo de $Q$.

Sea $Q^*$ el valor de $Q$ donde se halla el mínimo. Observe que $Q^*$ depende de $k$. Sabemos que todas las curvas de isobeneficio tienen pendiente negativa hasta $Q = 40$, por lo que $Q^* \gt 40$: el punto mínimo de una curva isobeneficio con $k\gt0$ está a la derecha del punto mínimo de la curva de beneficio nulo. Un argumento similar muestra que, cuando aumentamos $k$, $Q^*$ también se incrementa: las curvas de isobeneficio correspondientes con mayores niveles de beneficio tienen su punto mínimo más a la derecha (figura 2).

Acabamos de explicar por qué las curvas de isobeneficio de Autos Hermosos tienen forma de U. La segunda propiedad que puede observar en la figura 2 es que la curva de costo marginal pasa por los puntos mínimos de las curvas de isobeneficio. En el Leibniz 7.3.1 hemos demostrado que esto es cierto para la curva de CM (la curva de beneficio cero) mostrando que $\text{CMg} - \text{CM}$ siempre tiene el mismo signo que la pendiente de la curva de CM. Ahora usamos el mismo enfoque para las pendientes de las otras curvas de isobeneficio.

Considere la curva de isobeneficio correspondiente a un beneficio de k > 0. En esta curva:

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{d} {dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) - \frac{k}{Q^2}$$

Así pues, $dP/dQ$ es la diferencia de dos términos, el primero de los cuales es la pendiente de la curva de CM. En el Leibniz 7.3.1 ya mostramos (usando la regla del cociente) que esto es $(\text{CMg} - \text{CM})/Q$. También sabemos por la ecuación de la curva de isobeneficio que $k/Q = P - \text{CM}$. Por tanto:

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{CMg} - \text{CMe}}{Q} - \frac{P - \text{CMe}}{Q}$$

Simplificando el lado derecho, vemos que:

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{CMg} - P}{Q}$$

La ecuación nos indica la pendiente en cualquier punto de la curva de isobeneficio $P = \text{CM}+ k/Q$. Cuando $Q$ es pequeño, $P$ es alto –mayor que el costo marginal CMg– y la curva tiene pendiente negativa. Por eso, cuando $Q$ aumenta, $P$ disminuye. Esto continúa siendo así, siempre y cuando $P\lt \text{CMg}$. En el caso de Autos Hermosos, alcanzamos un punto donde $P = \text{CMg}$ y, en ese punto, la ecuación nos indica que la pendiente es cero: hemos llegado a un punto mínimo de la curva de isobeneficio. La pendiente de la curva de CMg es positiva a partir de este punto. Por tanto, a partir de ese punto, $\text{CMg} \gt P$ y la curva de isobeneficio tendrá pendiente positiva.

¿Qué pasa con el caso de los Cheerios de manzana y canela? Como el costo unitario de una libra de Cheerios es de 2 euros para cualquier nivel de producción, tanto el costo medio como el marginal es 2 euros. La curva de beneficio cero no es solo la curva CM, sino también la curva CMg. La ecuación de cualquier curva de isobeneficio puede escribirse como $P = \text{CMg}+ k/Q$. Por eso, si $k \gt 0$, entonces $P \gt \text{CMg}$, lo que significa que la pendiente es siempre negativa. Como puede observarse en la figura 1, todas las curvas de isobeneficio positivas tienen pendientes negativas, pero nunca coinciden con la curva CMg.

Puede leer más sobre este tema en el capítulo 8 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.