Leibniz

3.4.1 Tasas marginales de transformación y sustitución

La decisión de Alexei sobre cuánto estudiar está limitada por el conjunto factible de combinaciones de tiempo libre y calificaciones. Así que se enfrenta a una disyuntiva o trade-off: para obtener una buena calificación a final de curso, tiene que renunciar a algo de tiempo libre. La tasa marginal de transformación (TMT) mide las dimensiones del trade-off. Aquí mostramos cómo se puede calcular la TMT a partir de la función de producción.

La ecuación de la frontera factible

La figura 1 muestra el conjunto factible de Alexei. Recuerde que construimos la frontera factible utilizando una función de producción que relaciona la nota del examen con las horas de estudio.

Para ver esto matemáticamente, asumamos que la función de producción de Alexei es (como antes):

$$y = f(h)$$

donde $y$, el resultado o variable dependiente, es la calificación obtenida en el examen; $h$, sus horas de estudio, y $f$ es una función creciente.

La frontera factible es la relación entre la nota y el tiempo libre. Si Alexei opta por tener $t$ horas de tiempo libre, sus horas de estudio son:

$$h=24-t$$

Sustituyendo esto en la función de producción, obtenemos la ecuación de la frontera factible:

$$y = f(24 - t)$$

Cálculo de la tasa marginal de transformación

Hemos visto esquemáticamente que la TMT está relacionada con la pendiente de la frontera factible. Podemos calcular la pendiente realizando la derivada de la ecuación de la frontera factible. Cuando Alexei tiene $t$ horas de tiempo libre, la tasa a la que cambia su calificación a medida que aumenta el tiempo libre viene dada por:

$$\frac{dy}{dt} = f'(24-t)\frac{d}{dt}(24 -t)$$

donde hemos usado la regla de función compuesta (a veces llamada la regla de la cadena). Simplificando,

$$\frac{dy}{dt} = - f'(24-t)$$

El lado derecho de esta ecuación es negativo, dado que $f$ es una función creciente. Así pues, la frontera tiene pendiente descendiente, como puede verse en el diagrama. La pendiente de la frontera factible en el punto $(t,\ f(24 -t))$ es la cantidad negativa $-f'(24 -t)$.

tasa marginal de transformación (TMT)

Cantidad de algún bien que debe sacrificarse para adquirir una unidad adicional de otro bien. En cualquier punto, es la pendiente de la frontera factible. También conocida como: relación marginal de transformación. Ver también: tasa marginal de sustitución.

La pendiente negativa nos dice que la nota disminuye a medida que aumenta el tiempo libre. La tasa marginal de transformación (TMT) es la tasa a la que aumentan las calificaciones a costa de disminuir el tiempo libre, que viene dada por el valor absoluto de la pendiente, una cantidad positiva:

$$\text{TMT}=f'(24-t)$$

El significado de la TMT es el siguiente: si el tiempo libre aumenta en una cantidad pequeña, digamos $\Delta t$ horas, la calificación del examen disminuye en aproximadamente $f'(24-t)\Delta t$ puntos. Del mismo modo, si el tiempo libre disminuye en $\Delta t$ horas, la calificación del examen aumenta en aproximadamente $f'(24-t)\Delta t$ puntos. La figura 2 muestra la frontera factible para la función de producción $y=28h^{1,6}$ (que tiene una forma similar, pero no idéntica, a la frontera factible de Alexei). El panel inferior muestra la TMT, que aumenta a medida que avanzamos hacia la derecha a lo largo de la frontera, incrementándose el tiempo libre al tiempo que baja la calificación del examen.

En resumidas cuentas: la TMT mide la tasa a la que se sacrifican puntos de calificación al ir aumentando las horas de tiempo libre, y se puede calcular simplemente derivando la función de producción. Dado que el número de horas de estudio $h$ es igual a $24 - t$, la TMT coincide con el producto marginal del trabajo $f'(h)$. El hecho de que la TMT crezca a medida que avanzamos a lo largo de la frontera en dirección a más tiempo libre y menos horas de estudio es una consecuencia de los rendimientos decrecientes del trabajo: dado que $f'(h)$ es una función decreciente de $h$, la función aumenta cuando $h$ disminuye.