Leibniz

22.3.1 Effets de revenu et de substitution d’une hausse de la concurrence politique

Un changement de la concurrence politique change l’ensemble des combinaisons possibles pour le dictateur, s’agissant à la fois du niveau des taxes levées par an et de sa durée attendue au pouvoir. Dans ce supplément Leibniz nous montrons comment modéliser l’effet d’une modification de la concurrence sur la courbe de durée, et comment décomposer l’effet sur la durée en effet de revenu et en effet de substitution dans le cas d’une courbe de durée linéaire.

Nous avons montré dans le Leibniz 22.2.1 que la courbe de durée du dictateur est déterminée par la probabilité $\Delta^p(T)$ qu’il soit destitué de son poste pour des raisons liées à sa performance, qui dépend des taxes qu’il fixe, et par la probabilité d’être destitué pour d’autres raisons, $\Delta^u$. L’équation de la courbe de durée est $D=1/(\Delta^p(T)+\Delta^u)$. Souvenez-vous que quand $T$ est égal à $C$, le coût des services publics fournis, $\Delta^p(T)$ est nul, et $D=1/\Delta^u=D^\text{max}$.

Une hausse de la concurrence politique implique une hausse de la probabilité de destitution $\Delta^p(T)$, et donc une baisse de la durée attendue pour tout niveau de $T \gt C$, tandis que $\Delta^p(C)$ reste à zéro. La courbe de durée pivote donc autour du point $(D^\text{max},\ C)$, comme montré dans la Figure 22.9 du texte, reproduite ci-dessous en tant que Figure 1.

Dans ce graphique, l’effet d’une hausse de la concurrence déplace le choix du dictateur de B à G. Cela réduit le niveau de taxes choisi par l’élite politique, tandis que la durée au pouvoir reste inchangée.

Ce résultat, une hausse de la concurrence ne modifiant pas la durée attendue, ne sera pas vérifié en général. C’est une propriété de la courbe de durée linéaire montrée ici. Pour le voir, souvenez-vous du supplément Leibniz 22.2.2 où vous avez vu que l’équation d’une courbe de durée linéaire peut être écrite comme $D = f(T)$, où :

$$f(T)=D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C)$$

et $s$ est un paramètre constant correspondant à la valeur absolue de la pente de la droite dans la Figure 1 – c’est-à-dire, le taux marginal de transformation (TMT) du dictateur entre $T$ et $D$. Le dictateur choisit $T$ afin de maximiser sa rente $(T-C)D$, sous la contrainte $D=f(T)$, et nous avons montré que la solution du problème est :

$$T^*=C+\frac{s}{2}D^\text{max}$$ $$D^*=\frac{1}{2}D^\text{max}$$

Une hausse de la concurrence politique peut être représentée dans ce modèle par une baisse du paramètre $s$, ce qui aplatit la courbe de durée. Supposez qu’initialement, $s=s_0,$ et qu’une hausse de la concurrence le réduise à $s_1 \lt s_0.$ Vous pouvez immédiatement voir, à partir de la solution ci-dessus, que la taxe $T^*$ diminue, mais qu’il n’y a pas d’effet sur la durée $D^*$.

Nous pouvons considérer ce résultat comme étant l’effet net de deux changements opposés découlant de la hausse de la concurrence : un effet de revenu et un effet de substitution. Pour le voir, nous utilisons les mêmes étapes que nous avons utilisées dans le Leibniz 3.7.1 pour trouver les effets de revenu et de substitution d’un changement de salaire :

1. Quel est l’effet total d’une baisse de $s$ sur la durée ?

Il est nul : $D^*$ reste à $D^\text{max}/2$.

2. Trouver l’effet de revenu

Quel déplacement parallèle de la courbe de durée (c’est-à-dire, un changement de l’ensemble des possibles sans changement du TMT) aurait le même effet sur la rente du dictateur que la baisse de $s$ ?

Initialement, la rente est $R_0^*= (T^*-C)D^*=\frac{1}{4}s_0D^{\text{max}^2}$. Elle diminue à $R_1=\frac{1}{4}s_1D^{\text{max}^2}$. Supposez qu’au lieu de pivoter vers l’intérieur, la courbe de durée se déplace parallèlement vers l’intérieur. Ce serait comme si la durée maximale diminuait à $\overline{D}$, de sorte que la courbe de durée serait :

$$f(T)=\overline{D}-\frac{1}{s_0}(T-C)$$

Dans ce cas la rente au point optimal du dictateur serait $\frac{1}{4}s_0\overline{D}^2$. Ce changement aurait donc le même effet sur la rente si :

$$\frac{1}{4}s_0 \overline{D}^2=\frac{1}{4}s_1 D^{\text{max}^2}$$

La résolution de cette équation nous donne $\overline{D}=\sqrt{\frac{s_1}{s_0}}D^\text{max}$.

3. Comment ce changement affecterait-il $D$ ?

Le déplacement vers l’intérieur de la courbe de durée décrit ci-dessus pousserait le dictateur à choisir $D_1^*=\frac{\overline{D}}{2}$. L’effet de revenu entraîne donc une baisse de la durée de :

$$D^*-D_1^*=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{\frac{s_1}{s_0}}\right) D^\text{max}$$

Remarquez que ce déplacement réduit aussi les taxes.

4. Trouver l’effet de substitution

L’effet total d’une hausse de la concurrence sur la durée du dictateur est nul. Nous pouvons donc immédiatement en conclure que l’effet de substitution – c’est-à-dire l’effet d’un changement isolé du TMT du dictateur – est l’opposé de l’effet de revenu : il augmente la durée de $D^*-D_1^*$. (Vous pouvez vérifier que l’effet de substitution diminue les taxes.)

Pour résumer, une hausse de la concurrence politique a deux effets pour le dictateur :

• Elle réduit son ensemble des possibles, le poussant à réduire les taxes et la durée.
• Elle modifie son arbitrage entre durée et taxes (le TMT), de sorte qu’une hausse des taxes a maintenant un effet plus important sur la durée. Cela le pousse à réduire encore plus les taxes, ce qui augmente la durée.

La Figure 2 montre la décomposition entre effets de revenu et de substitution. Comme dans la Figure 1, l’effet total d’une hausse de la concurrence politique est un déplacement de B à G, sans changement de la durée. L’effet de revenu est l’effet d’un déplacement parallèle de la courbe de durée, ce qui entraîne la même variation de la rente que l’effet total. Il est représenté par une courbe de durée en pointillés qui a la même pente que l’originale mais une durée maximale plus faible. Cela entraîne un déplacement de B à C, qui réduit la durée à $D_1^*$. L’effet de substitution entraîne un déplacement de C à G, qui augmente la durée jusqu’à son niveau initial et réduit encore plus les taxes ; c’est l’effet isolé d’une variation de la pente (le TMT du dictateur).