Leibniz

3.1.1 Productividad media y marginal

La función de producción de Alexei, representada gráficamente en la figura 1, describe cómo sus horas diarias de estudio se traducen en su calificación final. Hemos visto que su producto marginal en cada punto es la pendiente de la función, y su producto promedio es la pendiente del rayo desde el origen. Ahora veremos cómo describir matemáticamente los productos promedio y marginal.

Una representación matemática general de esta relación es:

$$y = f(h)$$

donde $y$ es la nota final (variable dependiente) y $h$ son horas de estudio por día (variable independiente). $f(h)$ es la función de producción.

producto promedio

Producto total dividido entre un insumo particular, por ejemplo, por trabajador (dividido entre el número de trabajadores) o por trabajador por hora (producto total dividido entre el número total de horas de trabajo dedicadas).

Cuando Alexei está estudiando $h$ horas por día, su producto promedio del trabajo (PMeT) se calcula dividiendo la calificación final por el número de horas estudiadas:

$$\text{PMeT} = \frac{y}{h} = \frac{f(h)}{h}$$

Este es el número promedio de puntos de calificación por hora de estudio diario. En el gráfico, es la pendiente del rayo desde el origen.

producto marginal

Cantidad adicional de producto que se genera si un insumo particular se incrementa en una unidad, mientras se mantienen constantes las cantidades de todos los demás insumos.

Hemos definido el producto marginal del trabajo de Alexei (PMT) como el aumento en su calificación resultante de aumentar el tiempo de estudio en una hora. Más precisamente, es la velocidad a la que su nota aumenta a medida que aumenta el tiempo de estudio, que se corresponde con la pendiente de la función de producción.

Para ver todo esto, supongamos que estudia $h$ horas al día. Para calcular su producto marginal, consideramos cómo cambiaría su calificación si aumentara su tiempo de estudio en $\Delta h$ horas. Si la nota aumenta en $\Delta y$, entonces el cambio en la nota por unidad de cambio del tiempo de estudio es:

$$\frac{\Delta y}{\Delta h} = \frac{f(h + \Delta h) - f(h)}{\Delta h}$$

Cuando $\Delta h$ tiende a cero, esta fracción tiende a la derivada de la función. Lo expresamos así:

$$\text{cuando } \Delta h \to 0, \quad \frac{\Delta y}{\Delta h} \to \frac{dy}{dh}$$

que es la pendiente de la función de producción. En otras palabras, el producto marginal de Alexei cuando estudia $h$ horas viene dado por la derivada de la función de producción:

$$\text{PMT} = \frac{dy}{dh}=f'(h)$$

Esta es la definición de producto marginal en términos de cálculo. En Leibnizes posteriores utilizaremos este tipo de definiciones de cálculo de cantidades marginales. En el texto, calculamos el producto marginal identificando el aumento en la producción que tiene lugar cuando se incrementan los insumos en una unidad. Esto da una buena aproximación al producto marginal como lo define el cálculo si las unidades individuales son cantidades pequeñas. Por ejemplo, en la figura 1, las unidades son horas y hay 24 horas en el eje horizontal. El aumento en el producto cuando los insumos aumentan en una hora es una aproximación a la pendiente. Ahora bien, si colocamos minutos en el eje horizontal y calculamos el aumento en el producto cuando los insumos aumentan en un minuto, obtendremos una aproximación mucho más cercana a la pendiente de esta función.

Un ejemplo

Una función de producción con propiedades similares a la de la figura 1 sería:

$$y = Ah^\alpha$$

donde $A$ y $\alpha$ son constantes, tales que $A \gt 0$ y $0 \lt \alpha \lt 1$, que determinan la ubicación precisa y la curvatura de la función de producción. A continuación, explicaremos por qué el valor de $\alpha$ está restringido al rango de 0 a 1. Observe que esta función tiene las propiedades estándar de una función de producción: $y=0$ cuando $h=0$ y, cuando $h$ es positivo, el producto $y$ también es positivo.

La restricción $\alpha \gt 0$ garantiza que la función de producción aumente para todo $h \geq 0$ (esto puede quedarle claro por lo que sabe acerca de los exponentes (potencias), pero lo vamos a verificar a continuación cuando mostremos que el producto marginal es positivo). Esto significa que la función no es una representación exacta de la de la figura 1, que es constante (se mantiene plana) para $h \gt 15$.

El producto promedio del trabajo es, por tanto:

$$\text{PMeT} = \frac{y}{h} = \frac{ Ah^\alpha }{h} = Ah^{\alpha-1}$$

El producto marginal del trabajo es la derivada de la función de producción:

$$\text{PMT} = \frac{dy}{dh} = A\alpha h^{\alpha -1}$$

Fíjese que podemos reescribir el PMT como:

$$\text{PMT} = \frac{\alpha}{h} \times Ah^\alpha = \frac{\alpha y}{h}$$

Sabemos que, cuando $h$ es positivo, $y$ es positivo también, así que puede verse fácilmente con base en esta ecuación que $\alpha \gt 0$ implica que el producto marginal del trabajo es positivo; en otras palabras, la calificación de Alexei aumenta con las horas estudiadas.

¿Y qué ocurre con la restricción $\alpha \lt 1$? Dado que el producto medio del trabajo es $\frac{y}{h}$ y el producto marginal del trabajo es $\frac{\alpha y}{h}$, $\alpha$ es la razón entre el producto marginal y el producto promedio. Así pues, nuestra suposición de que $\alpha \lt 1$ significa que el producto marginal del trabajo es menor que el producto promedio del trabajo. Puede ver esto en la figura 1 si compara el PMT (la pendiente de la curva) y el PMeT (la pendiente del rayo que sale del origen) que se muestran en el punto donde $h=4$.

Esta propiedad de la función de producción implica que, independientemente de cuántas horas decida dedicar al estudio Alexei, los puntos de calificación adicionales que obtendría por una hora adicional de estudio serán menos que los puntos promedio por hora que ha obtenido hasta el momento.

Puede leer más sobre estos temas en la sección 6.1 y la sección 6.4 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.