Leibniz

6.7.1 Beneficio, salarios y esfuerzo

En la interacción entre María y su empleador, el empleador decide el salario y la trabajadora responde eligiendo cuánto va a trabajar. En este Leibniz analizamos matemáticamente la decisión de determinar el salario por parte del empleador.

¿Cómo debería elegir el salario el empleador de María? Mostraremos primero que, para maximizar el beneficio, debería elegir el salario que minimiza el coste por unidad de esfuerzo, teniendo en cuenta cómo responderá María.

Si la empresa emplea a María $H$ horas semanales y su esfuerzo es $e$, ella hace N horas de trabajo productivo, donde $N=eH$. Supongamos que la función de producción del empleador es $f(N)$ y la producción resultante puede venderse a un precio $p$. En consecuencia, los beneficios del empleador, que denotaremos con la mayúscula de la letra griega “pi”, $\Pi$, pueden expresarse como:

$$\Pi=pf(eH)-wH$$

El empleador puede elegir libremente el salario y el número de horas que emplea a María; María elegirá su propio esfuerzo. Así pues, el empleador elegirá $w$ y $H$ de manera que se maximice $\Pi$, sabiendo que para cualquier salario que decida pagarle, María responderá eligiendo:

$$e = E(w)$$

Si pensamos en este problema, no resulta obvio que el empleador deba elegir el salario que minimiza el coste del esfuerzo, $w/e$, aunque en el texto se argumentaba que debería hacerlo. Para verlo matemáticamente, es útil reescribir los beneficios en función de $w$ y $N$, en lugar de $w$ y $H$ (recuerde que $N$ es el factor productivo). Sustituyendo $H=N/e$, tenemos:

$$\Pi=pf(N)-\frac{w}{e}N \quad\mbox{donde } e=E(w)$$

Podemos observar ahora que el beneficio depende de la cantidad de unidades de trabajo, $N$, y el coste unitario del trabajo (o esfuerzo), $w/e$. De esta expresión se desprende claramente que, para maximizar el beneficio, el empleador debería establecer el salario de modo que el coste $w/e$ sea lo más bajo posible.

Elegir el salario

Hemos mostrado que el empleador debería elegir el salario persiguiendo el objetivo de minimizar el coste por unidad de esfuerzo, $w/e$, teniendo en cuenta que María elegirá $e=E(w)$. Por la regla del cociente:

$$\frac{d}{dw} \left(\frac{w}{E(w)}\right) = \frac{E(w)-wE'(w)}{E(w)^2}$$

Obtenemos la condición de primer orden para la maximización de costes igualando esta expresión a cero. Por tanto, el salario $w^*$ que minimiza el coste satisface la ecuación:

$$E'(w^*)= E(w^*)/w^*$$

En la notación alternativa para las derivadas, la ecuación puede escribirse como:

$$\frac{de}{dw} = \frac{e}{w}$$

Esta condición para el salario se ilustra en la figura 1, que reproduce la figura 6.6 del texto. Las líneas rectas son las líneas de isocoste para el esfuerzo, que tienen pendientes $e/w$. En el punto A, la ecuación anterior se satisface: la pendiente de la línea de isocosto, $e/w$, es igual a la pendiente de la curva de mejor respuesta del trabajador, $de/dw$. Para la curva de mejor respuesta mostrada en este gráfico, $w^*=12$, y el correspondiente nivel de esfuerzo es $E(w^*)$ = 0,5.

En el gráfico, las líneas de isocosto más inclinadas corresponden a menores costes por unidad de esfuerzo (mayor $e/w$, menor $w/e$). Así pues, podemos ver que el punto A es el punto de minimización de costes en la curva de mejor respuesta. Para comprobar matemáticamente que el salario que satisface la condición de primer orden, $w^*$, corresponde a un punto mínimo de la función $w/E(w)$, deberíamos calcular la segunda derivada y comprobar que es positiva cuando $w=w^*$. Si hace esto, verá que la forma cóncava de la función de mejor respuesta, expresada matemáticamente por la condición $E’’(w)\lt0$, garantiza que $w^*$ minimice el coste.

Elección de las horas de trabajo

Habiendo determinado el salario que maximiza los beneficios y minimiza el coste, $w^*$, el empleador puede decidir cuántas unidades de esfuerzo de trabajo, $N$, se necesitan para maximizar los beneficios. Si el salario se fija en $w^*$, los beneficios son:

$$\Pi=pf(N)-\frac{w^*}{E(w^*)}N$$

Diferenciando respecto de $N$ e igualando a cero la derivada, tenemos una ecuación para el factor productivo $N^*$ que maximiza el beneficio:

$$pf'(N^*) = \frac{w^*}{E(w^*)}$$

Esta ecuación tiene una interpretación económica. $f’(N)$ es la producción marginal de una unidad de esfuerzo de trabajo adicional, así que $pf’(N)$ es el ingreso marginal que el empleador obtiene de una unidad de esfuerzo de trabajo. El empleador maximiza los beneficios eligiendo $N$ para que el ingreso marginal sea igual al coste marginal de una unidad adicional, $w^*/E(w^*)$.

Finalmente, habiendo calculado el número óptimo de unidades de esfuerzo en el trabajo, $N^*$, y sabiendo que María elegirá un nivel de esfuerzo $E(w^*)$, se podrá calcular el número de horas que debería emplearla a partir de la relación $H=N/e$.

Un ejemplo

Supongamos que el salario de reserva de María es $w_r$ (una constante positiva) y su función de mejor respuesta es:

$$E(w) = k(w-w_r)^\alpha \quad (w\gt w_r)$$

donde $k$ y $\alpha$ son constantes positivas con $\alpha \lt1$. Entonces, la condición de primer orden para el salario que maximiza el beneficio, $E'(w^*)= E(w^*)/w^*$ es:

$$\alpha k(w^* -w_r)^{\alpha-1} = k(w^*-w_r)^\alpha /w^*$$

Dividiendo toda la expresión por el lado derecho, obtenemos $\alpha w^*/(w^* -w_r) =1$ y, por lo tanto:

$$w^* = \frac{w_r}{1 - \alpha}$$

Observe que $w^*$ depende de $w_r$ y $\alpha$, pero no de $k$. Los números en la figura 1 se corresponden con el caso donde $w_r =6$, $\alpha=0,5$ y $k = 0,5/\sqrt{6}$.

El empleador establecerá $w^* = w_r/(1 - \alpha)$ y María elegirá su nivel de esfuerzo en respuesta a ese salario:

$$E(w^*) = k \left(\frac{\alpha w_r}{1 - \alpha}\right)^\alpha$$

Puede leer más sobre este tema en las secciones 7.1 y 8.1 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.