Leibniz

2.2.1 Introducción a los Leibniz

Los suplementos Leibniz le mostrarán cómo se pueden usar las matemáticas más sofisticadas, en particular el cálculo matemático, en modelos económicos. No necesita usar los Leibniz para entender nuestros modelos, pero le serán de ayuda si está tomando cursos más avanzados o de matemáticas. En este primer Leibniz, explicamos de dónde proviene el nombre e introducimos una notación básica.

¿Quién inventó el cálculo?

Podría decirse que la controversia científica más famosa de todos los tiempos fue entre sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz, y giró en torno a quién inventó el cálculo.

Isaac Newton

Retrato de Sir Godfrey Kneller, Wikipedia / Wikimedia Commons

Sir Isaac Newton (1642–1726) fue un matemático y físico inglés, reconocido como uno de los científicos más influyentes que jamás hayan existido. Además de inventar el cálculo, descubrió la ley de la gravedad, sentó las bases de la mecánica clásica, hizo importantes contribuciones a la teoría de la óptica y formuló una ley del enfriamiento. Como Director de la Casa de la Moneda durante el reinado de tres monarcas, Newton fundó el patrón oro, que fue el elemento central del sistema monetario internacional durante casi 200 años.

Newton utilizó por primera vez métodos de cálculo en un manuscrito publicado en 1666. Los métodos también se utilizaron en su libro Principios matemáticos de la filosofía natural, que se publicó en 1687. Por otra parte, completó su libro sobre el cálculo, Tratado de métodos de series y fluxiones, en 1671, pero no lo publicó hasta 1736.

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Retrato de Andreas Scheits, Wikipedia / Wikimedia Commons

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) fue un matemático y filósofo alemán. En 1675 usó el cálculo integral para establecer el área bajo una curva e introdujo la S alargada –escrita $\int$ – que usamos para representar una integral y la $d$ como denotación de diferencial. Su trabajo sobre filosofía se centró en el principio del optimismo, según el cual Dios habría creado el mejor de los mundos posibles, aunque su tratado Teodicea sobre el tema fue satirizado por Voltaire en su novela Cándido.

Los partidarios de Newton acusaron a Leibniz de plagio en su trabajo sobre el cálculo. En el momento de su muerte, su reputación estaba en declive y murió en la pobreza, pero su prestigio ha sido posteriormente reconstruido tanto por matemáticos como por filósofos.

Los historiadores modernos aceptan que Newton y Leibniz inventaron el cálculo de forma independiente, casi al mismo tiempo. Así pues, para decidir en honor a quién denominar los suplementos de cálculo, lanzamos una moneda. Ganó Leibniz.

Notación y convenciones

Muchos de los Leibniz contienen recomendaciones para lecturas adicionales, que en la mayoría de los casos se refieren a pasajes seleccionados de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.

Funciones de una variable

$y=f(x)$	función de una variable, donde $x$ es la variable independiente y $y$ es la variable dependiente
$\dfrac{dy}{dx}$	primera derivada de $f(x)$
$f'( x)$	Notación alternativa para la primera derivada de $f(x)$
$\dfrac{d^2 y}{dx^2}$	segunda derivada de $f(x)$
$f''( x)$	notación alternativa para la segunda derivada de $f(x)$

Integración

$y=f(x)$	función de una variable, donde $x$ es el argumento y $y$ es el resultado
$\int f(x) \, dx$	integral indefinida de $f(x)$
$\int _a^b f(x) \, dx$	integral definida de $f(x)$ entre los límites $a$ y $b$

Funciones de dos variables

$y=f (x,\ z)$	función de dos variables, donde $x$ y $z$ son los argumentos y $y$ es el resultado
$\dfrac{\partial f}{\partial x} \text{ o }\dfrac{\partial y}{\partial x}$	derivada parcial de $f$ respecto a $x$ , considerando $z$ como una constante
$\dfrac{\partial f}{\partial z}\text{ o }\dfrac{\partial y}{\partial z}$	derivado parcial de $f$ respecto a $z$ , considerando $x$ como una constante
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$	segunda derivada de $f$ respecto a $x$ , considerando $z$ como una constante
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$	segunda derivada de $f$ respecto a $z$ , considerando $x$ como una constante
$\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$	derivada parcial mixta; primera derivada de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ respecto a $z$
$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$	derivada parcial mixta; primera derivada de $\dfrac{\partial f}{\partial z}$ respecto a $x$
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z} \text{ o }\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}$	derivada parcial mixta cuando $\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$ y $\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$ son iguales