Leibniz

5.4.2 La elección de horas de trabajo que realiza Ángela

Ángela tiene preferencias cuasilineales respecto al tiempo de trabajo y el grano. En este Leibniz se analizan sus elecciones en tanto que granjera independiente: elige el tiempo de trabajo que maximiza su utilidad, habida cuenta de que la cantidad de grano producido depende, a través de su función de producción, de cuánto trabaja.

Ángela es una agricultora que reparte las horas del día entre el trabajo y el ocio. Su trabajo produce grano, que también consume. Sus horas diarias de ocio se representan como $t$ y la cantidad de grano que consume diariamente como $c$. Suponemos que tiene preferencias cuasilineales, representadas, como en el Leibniz 5.4.1, por la función de utilidad:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

donde la función $v$ es creciente y cóncava. Recuerde que su tasa marginal de sustitución (TMS) es $v'(t)$.

Supongamos que la cantidad de grano que Ángela puede producir y consumir por día, $c$, en función de su ocio $t$ es:

$$c=g(t)$$

En otras palabras, se trata de su frontera factible. Es preciso tener en cuenta que la notación ha cambiado un poco respecto a la anterior. Previamente empezábamos con la función de producción $f(h)$ que relaciona la producción con las horas de trabajo, de manera que la frontera factible se expresaba como $c=f(24-t)$.

Como la frontera factible debe tener una pendiente descendente, $g'(t)\lt0$. El valor absoluto de la pendiente de la frontera, o tasa marginal de transformación (TMT), es $-g'(t)$. Para que la frontera tenga la forma cóncava habitual determinada por los rendimientos marginales decrecientes de las horas de trabajo, es necesario que $g''(t)\lt0$.

El problema de optimización restringida de Ángela consiste en elegir los valores de $t$ y $c$ que maximicen $v(t) + c$, sujeto a la restricción $c =g(t)$.

La condición de primer orden para el óptimo puede calcularse aplicando la fórmula habitual $\text{TMT}=\text{TMS}$ (recuerde el Leibniz 3.5.1) o por sustitución, que en este caso significa elegir $t$ para maximizar $v(t) + g(t)$. De uno u otro modo, se obtiene la ecuación:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Como $v''(t)$ y $g''(t)$ son ambas negativas, la parte izquierda de la ecuación es una función decreciente de $t$. Se puede deducir que solo existe un valor de $t$ que satisface esta ecuación. Dicho valor es la elección óptima de ocio de Ángela, que llamaremos $t^*$. La producción y el consumo óptimos se encuentran, por tanto, en la frontera factible $c^* = g(t^*)$. Esta asignación óptima se muestra en la figura 1 como el punto P. En esa misma figura, la curva azul es una curva de indiferencia y la curva roja es la frontera factible de Ángela.

Un ejemplo

Ahora pasamos a ilustrar el análisis formal anterior usando funciones específicas de utilidad y producción. Supongamos que en la función de utilidad cuasilineal de Ángela $U(t,\ c) = v(t) + c$, la función $v(t)$ es:

$$v(t) = 4\sqrt{t}$$

Este es un caso particular del ejemplo de utilidad cuasilineal descrito en el Leibniz 5.4.1: $U(t,\ c)= b t^\alpha+c$ donde $b=4$ y $\alpha= 1/2$.

En segundo lugar, supongamos que la función de producción de Ángela es $y=2\sqrt{2h}$, donde $h$ representa las horas de trabajo. Como tiene 24 horas al día para repartir entre trabajo y ocio, $h + t =24$ y la ecuación de su frontera factible es $y=g(t)$, donde:

$$g(t) = 2\sqrt{48 -2t}$$

Se puede comprobar que esta frontera factible es decreciente ($g'(t)\lt0$) y cóncava ($g''(t)\lt0$).

Como en el caso anterior, se pueden calcular las tasas marginales de transformación y sustitución a partir de las derivadas de 𝑔 y 𝑣:

$$\text{TMT} = -g'(t) = \frac{2}{\sqrt{48 -2t}}, \quad \text{TMS} = v'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}}$$

En el óptimo, $\text{TMT} = \text{TMS}$, de manera que $48 -2t = t$. Por lo tanto, Ángela elige tener 16 horas diarias de ocio y trabajar durante las 8 horas restantes. A partir de la función de producción, se obtiene que el consumo diario de grano de Ángela es $2\sqrt{2 \times 8} = 8$.

Puede leer más sobre este tema en las secciones 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.