Leibniz

7.8.1 La elasticidad de la demanda

La elasticidad precio de la demanda mide la sensibilidad de la cantidad demandada al precio: nos indica el cambio porcentual en la cantidad demandada cuando el precio cambia un 1%. En este Leibniz, se define la elasticidad usando el cálculo y se muestra cómo las decisiones de una empresa sobre el precio dependen de la elasticidad de la demanda a la que se enfrenta.

Existen dos maneras de escribir una función de demanda. Previamente se ha descrito la demanda de Autos Hermosos usando la función inversa de demanda

$P = f(Q)$

donde $f(Q)$ es el precio al que la empresa puede vender exactamente $Q$ vehículos. Para definir la elasticidad, es más adecuado escribir la función de demanda en su forma directa:

$Q = g(P)$

$g(P)$ es la cantidad demandada de Autos Hermosos si el precio es $P$ . (La función $g$ es la función inversa de $f$ ; matemáticamente, podemos escribir $g(P)=f^{-1}(P)$ ).

La derivada de la función de demanda es $dQ/dP=g'(P)$ . Esta es una manera de medir cuánto cambia la demanda de los consumidores $Q$ en respuesta a un cambio en el precio. Por desgracia, no es muy útil porque depende de las unidades de medida de $P$ y $Q$ . Por ejemplo, se obtendría una respuesta distinta si el precio estuviese en euros en vez de dólares.

En lugar de eso, en el texto hemos definido la elasticidad precio de la demanda como:

$-\frac{\%\text{ cambio de la cantidad demandada}}{\%\text{ cambio del precio}}$

Esta medida de la capacidad de respuesta de la demanda al precio resulta más útil, pues, tal y como puede verse en la definición, es independiente de las unidades de medida. No obstante, está estrechamente relacionada con la derivada $g'(P)$ . Para ver cómo, supongamos que el precio cambia de $P$ a $P + \Delta P$ , haciendo que la cantidad demandada pase de $Q=g(P)$ a $Q + \Delta Q$ . El cambio porcentual en el precio es $100 \Delta P/P$ y en la cantidad $100 \Delta Q/Q$ . Sustituyéndolos en la expresión de la elasticidad, se obtiene:

$-\frac{ \Delta Q}{Q} \left/ \frac{\Delta P}{P} \right. = -\frac{P}{Q} \, \frac{ \Delta Q}{ \Delta P}$

El límite de esta expresión cuando $\Delta P \to 0$ nos proporciona la definición de la elasticidad precio de la demanda en términos del cálculo, que denominaremos $\varepsilon$ como en el texto:

$\varepsilon = - \frac{P}{Q} \, \frac{ dQ}{dP}$

Y como $Q=g(P)$ , la elasticidad puede escribirse también como:

$\varepsilon = -\frac{Pg'(P)}{g(P)}$

Observe que el valor de la elasticidad normalmente es positivo porque, según la Ley de la Demanda, la derivada de la función de demanda será negativa.

Cuando se define así usando el cálculo, $\varepsilon$ es solo aproximadamente igual a la definición original de la elasticidad como la reducción porcentual de la cantidad demandada cuando el precio sube un 1%. Y, sin embargo, en el supuesto razonable de que un 1% suponga una cantidad pequeña, es una buena aproximación y, a menudo, podemos interpretarla de esa manera.

Considere la función de demanda:

$Q=100 P^{-0,8}$

Aquí,

$\varepsilon=-\frac{P}{Q}\,\frac{dQ}{dP} = -\frac{P}{100P^{-0,8}}\times -80P^{-1,8} = 0,8$

En este caso concreto, la elasticidad de la demanda es constante: es igual a 0,8 para todos los puntos de la curva de demanda.

En general, las elasticidades no son constantes. Varían a medida que nos movemos a lo largo de la curva de demanda, pero el ejemplo anterior ilustra un caso especial. Si la forma de la función de demanda es $Q = aP^{-c}$ , donde $a$ y $c$ son constantes positivas, la elasticidad de la demanda es $c$ . Esta es la única clase de función de demanda para la que la elasticidad es constante.

La expresión de la elasticidad en función de la cantidad

Por otro lado, también se puede obtener otra expresión para la elasticidad de la demanda a partir de la función inversa de demanda $P=f(Q)$ . Por la regla de la función inversa,

$\frac{dP}{dQ} = 1 \left/ \frac{dQ}{dP} \right.$

por tanto,

$\varepsilon = - \frac{P}{Q} \left/ \frac{dP}{dQ} \right. = - \frac{f(Q)}{Qf'(Q)}$

Un segundo ejemplo: supongamos que Autos Hermosos se enfrenta a la función inversa de demanda

$P= 8000 - 80 Q$

como en la figura 7.15 del texto. Usando la expresión anterior, la elasticidad de la demanda es:

$\varepsilon=-\frac{8000 -80 Q}{Q\times -80} = \frac{100}{Q} - 1$

Otra alternativa es expresar la elasticidad según el precio: $Q=\dfrac{8000-P}{80}$ , por tanto

$\varepsilon= -\frac{P}{Q}\, \frac{dQ}{dP} = -\frac{80P}{8000 -P} \times -\frac{1}{80} = \frac{P}{8000 -P}$

Cada una de las dos expresiones de $\varepsilon$ muestra que la elasticidad baja a medida que nos movemos hacia la derecha a lo largo de la curva de demanda, es decir, según $Q$ va aumentando y $P$ se va reduciendo. Esto es así para todas las funciones de demanda lineal, para las que siempre es cierto que $\varepsilon$ tiende a 0 cuando $P$ tiende a 0 y $\varepsilon$ tiende a $\infty$ cuando $P$ tiende a su valor máximo siendo $Q=0$ . Así pues, si Autos Hermosos vende solo dos vehículos al día a un precio de 7840€, la elasticidad de la demanda es 49, mientras que si la empresa vende 95 vehículos al día cobrando solo 400€ por vehículo, $\varepsilon=0,053$ con tres decimales.

Elasticidad e ingresos marginales

Ya vimos en el Leibniz 7.6.1 que, si la función de demanda inversa de Autos Hermosos es $f(Q)$ , su función de ingresos es

$I(Q) = Qf(Q)$

y que los ingresos marginales (IMg) se definen como sigue:

$\text{IMg} = I'(Q) = f(Q) + Qf'(Q)$

Si reescribimos esta expresión con la fórmula $\varepsilon=-\dfrac{f(Q)}{Qf'(Q)}$ , y basándonos además en el hecho de que $P=f(Q)$ , se observa que existe una relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda:

$\text{IMg} = f(Q) - \frac{f(Q)}{\varepsilon} = P\left(1 - \frac{1}{\varepsilon}\right)$

Esto implica que el ingreso marginal será positivo si $\varepsilon\gt1$ y negativo si $\varepsilon\lt1$ .

Como se señaló en el texto, se dice que la demanda es elástica si $\varepsilon\gt1$ , e inelástica si $\varepsilon\lt1$ . El segundo ejemplo muestra que la demanda puede ser elástica e inelástica en diferentes puntos de la misma curva de demanda. Lo que acabamos de demostrar es que el ingreso marginal es positivo si, y solo si la empresa está operando en la parte de la curva de demanda donde la demanda es elástica. Concretamente, esto será así si la empresa maximiza sus beneficios y, por lo tanto, elige un nivel de producción tal que se equiparen el ingreso marginal y el costo marginal, ya que este es positivo.

El sobreprecio

Recordemos del Leibniz 7.6.1 que la condición de primer orden para la maximización de los beneficios es IMg = CMg, donde CMg es el costo marginal. Usando la fórmula del ingreso marginal que acabamos de obtener, podemos escribir la condición de primer orden de la siguiente manera:

$(\varepsilon -1)P = \varepsilon \, \text{CMg}$

Reorganizándola:

$\frac{P - \text{CMg}}{P} = \frac{1}{\varepsilon}$

El lado izquierdo de esta ecuación es el sobreprecio de la empresa, es decir, el margen de beneficio $P-\text{CMg}$ como proporción del precio. La ecuación nos indica que el margen de beneficio (en el punto de maximización de beneficios) será mayor cuanto menor sea la elasticidad de la demanda. Por ejemplo, si la elasticidad de la demanda es 5 en el punto óptimo, hay un sobreprecio del 20%, mientras que una elasticidad de la demanda de 1,25 significa que el sobreprecio es del 80%, por lo que la empresa fijará su precio en cinco veces el coste marginal. La relación inversa entre el margen de beneficio y la elasticidad precio de la demanda se presenta en las figuras 7.16 y 7.17 del texto, que se reproducen a continuación como figura 1.

Maximización del beneficio con una demanda elástica (diagrama de la izquierda) y una inelástica (diagrama de la derecha).

Figura 1 Maximización del beneficio con una demanda elástica (diagrama de la izquierda) y una inelástica (diagrama de la derecha).

Elasticidad en general

La elasticidad es un concepto matemático general, aunque, hasta donde sabemos, solo lo usan los economistas. Supongamos que tenemos una función diferenciable $y=F(x)$ donde $x$ y $y$ solo toman valores positivos. La elasticidad de $y$ con respecto a $x$ puede definirse como:

$\frac{x}{y} \, \frac{dy}{dx} = \frac{xF'(x)}{F(x)}$

Es el límite de la razón

$\frac{\%\text{ cambio en } y}{\%\text{ cambio en } x}$

cuando el denominador tiende a cero. Una alternativa, que utilizamos en el caso de la elasticidad precio de la demanda, es definir la elasticidad como el valor absoluto de este límite.