Leibniz

3.1.3 Funciones cóncavas y convexas

El concepto de productividad marginal decreciente corresponde a la propiedad matemática de la concavidad. Considerando el concepto matemático de las funciones cóncavas y convexas, podemos obtener más información sobre las propiedades económicas de las funciones de producción.

función cóncava

Función de dos variables para la cual el segmento de línea entre dos puntos cualesquiera de la función se sitúa completamente bajo la curva que representa a la función (la función es convexa cuando el segmento de línea se sitúa por encima de la función).

Vimos en el Leibniz 3.1.2 que, en el caso de la función de producción $y = Ah^\alpha$, con $A \gt 0$ y $0 \lt \alpha \lt 1$, la productividad marginal del trabajo es decreciente. Esto significa que, cuando nos movemos hacia la derecha a lo largo del gráfico de la función de producción, la pendiente de la curva disminuye. Una función con esta propiedad se denomina cóncava.

Una implicación de la concavidad (y su definición algebraica) es que «la función del promedio es mayor que el promedio de la función». Para ilustrar lo que significa esta afirmación, suponga que, para una función $f(h)$, tomamos dos valores cualesquiera $h_0$ y $h_1$. Entonces:

$$f\left(\frac{h_0+h_1}{2}\right) \gt \frac{f(h_0)+f(h_1)}{2}$$

El lado izquierdo es la función del promedio de los dos valores y el lado derecho es el promedio de la función de los dos valores. (Para ver por qué se mantiene la desigualdad, intente dibujar una función de producción cóncava, seleccionando dos valores en el eje horizontal e identificando los puntos en el diagrama que correspondan a los dos promedios).

Podemos dar a esta propiedad una interpretación económica muy clara. Para entender lo que significa, considere el siguiente ejemplo.

Supongamos que Alexei tiene una función de producción como la de arriba, con $A = 20$ y $\alpha = 0,5$, es decir:

$$y = 20\sqrt{h}$$

Alexei acaba de comenzar en la universidad y está considerando dos formas diferentes de organizar su tiempo. Como aún no conoce a nadie, cree que el primer semestre podría usarlo mejor socializando, de modo que su promedio de horas diarias de estudio para el examen de final de semestre sería 0. Después, cuando se haya hecho su lugar y tenga su vida social establecida, volvería a estudiar con la máxima dedicación imaginable en el segundo semestre, invirtiendo 9 horas al día en el estudio todos los días. Analizando su función de producción, nos encontramos con que, adoptando este plan de estudio, sus calificaciones serían $20\sqrt{0} =0$ para el examen del primer semestre, y $20\sqrt{9} =60$ para el segundo semestre. Su resultado promedio en los exámenes sería, por lo tanto, $\frac{1}{2}\times 0 + \frac{1}{2}\times 60=30$.

Alternativamente, también podría dedicarse a su vida social y sus resultados académicos de manera más constante, estudiando 4,5 horas al día todos los días en ambos semestres. Tenga en cuenta que, según esta estrategia, renuncia a las mismas horas totales de tiempo libre que en el enfoque anterior: el insumo total de horas es el mismo. ¿Qué notas puede esperar en este caso? La nota que obtendrá será de $20\sqrt{4,5} = 42,4$ en cada semestre, lo que le da 42,4 de promedio.

Al comparar estas dos estrategias posibles, Alexei se da cuenta de que, en su caso, la carrera es lenta y constante, ya que su rendimiento total es mayor cuando las horas son constantes en lugar de fluctuar. Esta es la consecuencia económica de la concavidad.

Por el contrario, si hubiéramos asumido que $\alpha \gt 1$, nos habríamos encontrado con que la producción total es mayor cuando las horas fluctúan: en este caso, Alexei aprende más cuando estudia con mayor intensidad durante un periodo más corto. Cuando $\alpha \gt 1$, la pendiente de la gráfica de la función de producción aumenta a medida que aumentan las horas, por lo que el producto marginal del trabajo aumenta en lugar de disminuir, como ocurre en la figura 3, en la que $\alpha =1,6$. En este caso, describiríamos la función de producción como convexa en lugar de cóncava. Un caso especial es la función $y=Ah^2$: se puede verificar derivando que, para esta función de producción, la gráfica del producto marginal del trabajo es una línea recta con pendiente ascendente.

Puede leer más sobre este tema en la sección 8.4 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: an introductory textbook , 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.