Leibniz

7.3.1 Las funciones de costo medio y marginal

Los costos totales de producción para una empresa manufacturera como Autos Hermosos incluyen los pagos por el alquiler de la fábrica, el equipamiento y la maquinaria, el precio de las materias primas (suministros básicos incluidos) y el salario de todos sus trabajadores. La función de costos, $C(Q)$, describe cómo varían los costos totales de la empresa en función del producto, el número de coches, $Q$, que produce. En este Leibniz mostraremos cómo se relacionan las funciones de costos medio y marginal con $C(Q)$.

En general, los costos totales aumentarán con la cantidad producida. A continuación consideraremos $Q$ como una variable continua, una aproximación habitual y útil cuando se trabaja con números grandes. En este caso, tiene sentido suponer que la función $C$ es diferenciable y establecer que es una función creciente mediante la desigualdad:

$$C'(Q)\gt0$$

El gráfico de la función $C$ se muestra en el panel superior de la figura 7.7 del texto, reproducida a continuación como figura 1. Observe que $C(0)=F\gt0$; aunque no produzca vehículos, la empresa tendrá algunos costos, $F$, llamados costos fijos. En el gráfico, $C$ es una función creciente y también convexa: la pendiente de la curva crece cuando $Q$ crece. Desarrollaremos este concepto más adelante.

El costo medio (CM) de producción de Autos Hermosos se define como el costo total dividido por la cantidad de automóviles producidos. Así que, si se producen $Q$ automóviles:

$$\text{CM} = \frac{C(Q)}{Q}$$

En el panel superior de la figura 1, el costo medio de producir $Q$ vehículos es la pendiente de la línea que va desde el punto $(Q, C(Q))$ al origen. Además, puede verse en el gráfico que la pendiente cambia cuando cambia $Q$: el costo medio CM es, asimismo, una función de $Q$. La gráfica de la función $CM(Q)$ se muestra en el panel inferior de la figura 1.

El costo marginal (CMg) es la tasa a la que aumentan los costos si $Q$ aumenta. De esta manera, si se producen Q coches:

$$\text{CMg} =C'(Q)$$

Puede interpretarse CMg, tal como veíamos en el texto, como el costo de producir un automóvil más, pero recuerde que esto es solo una aproximación. Geométricamente, CMg es la pendiente de la curva $C(Q)$ que se muestra en el panel superior de la figura 1. Como mencionamos antes, esta función de costos tiene la propiedad de que la pendiente aumenta cuando $Q$ aumenta: estamos suponiendo que, para Autos Hermosos, el costo de producir un vehículo adicional es una función creciente de la cantidad de vehículos ya producidos. La función de costos marginales se muestra como una línea con pendiente creciente en el panel inferior de la figura 1.

Ahora pensemos sobre la forma de la función de costos medios. Recordando que el costo medio es la pendiente de la línea que va de $C(Q)$ al origen, puede observar en el panel superior de la figura 1 que el costo medio es alto cuando $Q$ es baja; después disminuirá gradualmente hasta el punto B, donde $Q=40$, antes de aumentar de nuevo. Esto también se muestra en el panel inferior en la curva en forma de U que representa el costo medio, con un valor mínimo de $Q=40$. El gráfico también muestra que $\text{CMg} \lt \text{CM}$ si $Q \lt 40$, $\text{CM} \gt \text{CMg}$ si $Q \gt 40$ y $\text{CMg} = \text{CM}$ si $Q = 40$. Otra manera de plantear esto es decir que $\text{CMg} - \text{CM}$ siempre tiene el mismo signo que la pendiente de la curva de CM. Pasaremos ahora a demostrar que esto es siempre cierto, sin importar la forma de la función de costos.

Si aplicamos la regla para derivar un cociente:

$$\frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) = \frac{QC'(Q)- C(Q)}{Q^2}$$

Sustituyamos ahora $C'(Q)= \text{CMg}$ y $C(Q) = Q \times \text{CM}$. Por lo tanto:

$$\frac{d}{dQ} (\text{CM} ) = \frac{\text{CMg}-\text{CM}}{Q}$$

Como $Q\gt0$, se deduce que la pendiente de la curva CM para cada valor de $Q$ tiene el mismo signo que $\text{CMg} - \text{CM}$, como queríamos demostrar.

Puede leer más sobre el tema en las secciones 6.4 y 8.1 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.