Leibniz

7.5.1 El precio que maximiza el beneficio

Para maximizar su beneficio, Autos Hermosos elige un punto de su curva de demanda donde su curva de isobeneficio es tangente a la curva de demanda. Ya lo hemos visto gráficamente; en este Leibniz demostraremos que el punto de tangencia es el óptimo resolviendo matemáticamente el problema de maximización de beneficios.

La curva de demanda de Autos Hermosos tiene pendiente descendente. Cuando los directivos de la empresa eligen un precio, saben que, cuantos más vehículos produzcan, menor tendrá que ser el precio que deberán establecer para venderlos. En el texto, hemos trazado la curva de demanda como una línea recta con pendiente descendente, pero en realidad es improbable que sea recta. Aquí la expresamos de manera más general como una función. El precio máximo $P$ al que pueden venderse $Q$ vehículos se expresa como:

$$P=f(Q)$$

donde $f$ es una función estrictamente decreciente ($f'(Q)\lt0$). Cuando escribimos la relación de demanda así, con el precio como función de la cantidad, llamamos a $f$ la función inversa de demanda. Cuando se escribe en sentido inverso, con la cantidad como función del precio, la función se llama función de demanda.

El beneficio de Autos Hermosos, $\Pi$, es igual a su ingreso total menos su costo total:

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

La compañía desea establecer el precio y la cantidad que maximicen su beneficio, sujeto a la restricción de que los compradores estén dispuestos a pagar ese precio. Su problema, por tanto, es:

$$\begin{align*}\text{elegir }Q \text{ y } P \text{ para maximizar }PQ - C(Q) \text{ sujeto a }P = f(Q)\end{align*}$$

El método de sustitución es la manera más sencilla de resolver este problema de optimización. Usamos la restricción para sustituir $P$, con lo que el beneficio se convierte en una función solo de $Q$:

$$\Pi= Qf(Q) - C(Q)$$

Para hallar el valor de $Q$ que maximiza esta función, despejamos la derivada de $Q$ (usando la regla de la derivada de producto, $\dfrac{d}{dQ}(Qf(Q)) =$ $f(Q) + Qf'(Q)$):

$$\frac{d\Pi}{dQ} = f(Q) + Qf'(Q) - C'(Q)$$

La condición de primer orden para la optimización es $d\Pi/dQ = 0$, que puede reorganizarse de la siguiente manera:

$$f'(Q)= \frac{C'(Q) - f(Q)}{Q}$$

La cantidad que maximiza el beneficio, $Q^*$, cumple esta ecuación. Si conociéramos la forma específica de las funciones $f(Q)$ y $C(Q)$, podríamos intentar resolver la ecuación para calcular $Q^*$ explícitamente. El precio que maximiza el beneficio podría calcularse entonces como $P^*=f(Q^*)$.

Ahora bien, incluso sin conocer las funciones, se puede interpretar la condición de primer orden. Sabemos que el valor óptimo de $Q$ está en la curva de demanda, por lo que $f(Q) = P$, y que $C'(Q)$ es el costo marginal. En consecuencia, la condición de primer orden puede expresarse como:

$$f'(Q)= \frac{C'(Q) - f(Q)}{Q}$$

El lado izquierdo de esta ecuación es la pendiente de la curva de demanda. Ya mostramos en el Leibniz 7.4.1 que el lado derecho es la pendiente de la curva de isobeneficio. De esta manera, la condición de primer orden nos dice justamente que la elección que maximiza el beneficio se encuentra en un punto de tangencia entre las curvas de demanda e isobeneficio. Para Autos Hermosos, es el punto E de la figura 7.11, reproducida a continuación como figura 1.

Observe que el lado izquierdo de la condición de primer orden, $f'(Q)$, es negativo y, por tanto, el lado derecho también debe serlo. El punto que maximiza el beneficio se sitúa en la parte de la curva de isobeneficio con pendiente descendente, donde el precio es mayor que el costo marginal.

Puede leer más sobre este tema en las secciones 6.4, 7.4 y 8.1 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.