Leibniz

2.7.1 La función de producción

En nuestro modelo de economía agrícola, la función de producción muestra cómo la producción de grano depende de la mano de obra, es decir, de la cantidad de agricultores que trabajan la tierra. Aquí mostramos cómo representar matemáticamente la función de producción y describimos sus propiedades.

La función de producción para el grano se representa gráficamente en la figura 1:

Si hacemos que $x$ sea el insumo laboral (número de agricultores) y $y$ la cantidad de grano producido (en kilogramos), podemos escribir la función de producción como:

$$y=f(x)$$

$f(.)$ podría ser cualquier tipo de función, pero si representa una función de producción como la de la figura, entonces debe tener ciertas propiedades. En primer lugar, podemos ver que, si la cantidad de agricultores es cero, no se produce grano, y si el insumo es mayor que cero, la cantidad de grano es estrictamente positiva:

$$f(0)=0, \quad f(x)>0 \text{ si } x>0$$

En segundo lugar, la función es creciente: es decir, cuando $x$ aumenta, también lo hace $y$. En consecuencia, su pendiente, que viene dada por la derivada de la función, es positiva. Y podemos escribir:

$$\frac{dy}{dx}>0$$

O, lo que es equivalente:

$$f'(x)>0$$

Estas dos propiedades son típicas de la mayoría de las funciones de producción. Otra propiedad de la función de producción de la figura es que su pendiente se vuelve gradualmente menos pronunciada a medida que $x$ aumenta, es decir, su pendiente $\frac{dy}{dx}$ disminuye a medida que $x$ aumenta, lo que significa que su segunda derivada es negativa:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y}{dx^2}<0$$

O, lo que es lo mismo:

$$f''(x)<0$$

Puede leer más sobre este tema en la sección 7.3 (especialmente la página 127) y la sección 8.2 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.