Leibniz

22.2.2 Comment le monopoliste fixe le niveau de taxation maximisant sa rente

Dans notre modèle de fixation de taxes par un dictateur qui est un monopoliste politique, le dictateur voudrait maximiser les rentes politiques qu’il capture quand il est au pouvoir. Cependant, en fixant le niveau de taxes il fait face à la contrainte de la courbe de durée : plus le niveau de taxes qu’il fixe chaque année est élevé, moins longtemps il peut s’attendre à rester au pouvoir. Ici, nous résolvons mathématiquement le problème d’optimisation sous contrainte du dictateur afin de trouver le niveau optimal de taxation.

Dans le Leibniz 22.2.1 nous avons obtenu une expression de la courbe de durée d’un dictateur qui peut être destitué pour des raisons liées à sa performance (s’il fixe des taxes trop élevées) ou pour des raisons indépendantes de sa performance. Sa durée au pouvoir attendue, $D$, diminue avec l’augmentation de la taxe $T$ chaque année. On peut ainsi dire que la durée est une fonction décroissante de la taxe, et l’écrire comme $D=f(T)$.

La rente du dictateur, $R$, dépend à la fois de $D$ et de $T$. Le coût de fournir les services publics est $C$, donc la rente politique annuelle est $T - C$, et la rente totale attendue obtenue par un dictateur avec une durée au pouvoir attendue $D$ est :

$$R(D,\ T)=(T-C)D$$

Le problème d’optimisation sous contrainte du dictateur est :

$$\text{maximiser }(T-C)D \text{ sous la contrainte }D=f(T)$$

Afin de résoudre ce problème, nous utilisons la contrainte pour remplacer $D$ et la rente est ainsi $(T-C)f(T)$. Ensuite, nous dérivons par rapport à $T$ pour obtenir la condition de premier ordre :

$$f(T)+f'(T)(T-C)=0$$

Le premier terme correspond au bénéfice marginal d’une augmentation de taxe d’une unité. Le dictateur obtient une unité supplémentaire de rente pour la durée $f(T)$ de sa période au pouvoir. Le deuxième terme est négatif puisque $f(T)$ est une fonction décroissante. Il représente le coût marginal pour le dictateur d’augmenter la rente, c’est-à-dire que la rente $T-C$ soit perçue pendant une période plus courte.

Le niveau optimal de taxes du dictateur $T^*$ résout cette équation. Une fois que nous avons trouvé $T^*$, nous pouvons déterminer la durée attendue $D^* =f(T^*)$. Nous montrerons cela dans un exemple spécifique ci-dessous.

La Figure 22.6 du texte, reproduite ci-dessous et nommée Figure 1, représente la solution au problème d’optimisation du dictateur.

La solution $(D^*,\ T^*)$ se trouve au point B du graphique, où la courbe de durée est tangente à une courbe d’isorente. Afin de montrer que ce point correspond à celui que nous avons trouvé mathématiquement ci-dessus, nous pouvons réarranger la condition de premier ordre afin de l’écrire comme suit :

$$-\frac{1}{f'(T)}=\frac{T-C}{D}$$

Sous cette forme, la condition de premier ordre nous dit la même chose que le graphique : au point B, la pente de la courbe de durée est égale à la pente de la courbe d’isorente. Pour le voir, nous pouvons calculer les deux pentes :

• Nous avons exprimé la courbe de durée comme $D^* =f(T^*)$, et il s’ensuit que $dD/dT=f'(T)$. Par contre, dans le graphique nous avons tracé la courbe avec $T$ en ordonnée, la pente est donc $dT/dD= 1/f'(T)$. Puisque $f'(T)$ est négative pour tout $T$, l’expression à gauche de l’équation ci-dessus correspond à la valeur absolue de la pente de la courbe de durée. Nous pouvons l’interpréter comme le taux marginal de transformation (TMT) entre taxe et durée.

• L’équation d’une courbe d’isorente est $R(D,\ T)=k$, où $k$ est une constante. Pour calculer la pente nous pourrions appliquer la méthode utilisée pour les courbes d’indifférence dans le Leibniz 3.2.1. Cependant, dans ce cas il est plus facile d’écrire la courbe d’isorente sous la forme $T=C+k/D$, puis de la dériver pour obtenir $dT/dD=-k/D^2=-(T-C)/D$. L’expression à droite de l’équation ci-dessus est donc la valeur absolue de la pente de la courbe d’isorente, que l’on peut interpréter comme étant le taux marginal de substitution (TMS) du dictateur entre taxe et durée.

Un exemple

Dans l’analyse ci-dessus nous n’avons spécifié aucune forme particulière pour la courbe de durée. Mais supposez qu’elle soit linéaire, comme dans la Figure 1. Son équation peut être écrite $D=f(T)$, où :

$$f(T)=D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C)$$

et $s$ est une constante positive. En dérivant $f$ vous pouvez vérifier que $s=-1/f'(T)$, donc $s$ représente la valeur absolue de la pente de la droite dans la Figure 1 (c’est-à-dire, le TMT). Avec cette courbe de durée, la condition de premier ordre $f(T)+f'(T)(T-C)=0$ devient:

$$D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C) -\frac{1}{s}(T-C)=0$$

qui peut être résolue afin d’obtenir :

$$T^*=C+\frac{s}{2} D^\text{max}$$

et, puisque $D^*=f(T^*)$:

$$D^*= \frac{1}{2} D^\text{max}$$

Remarquez que le niveau de taxes choisi par le dictateur est plus élevé quand la courbe de durée est plus pentue (c’est-à-dire, quand $s$ est plus élevé). Cette situation est similaire au cas d’une entreprise maximisant ses profits, et qui fixe un prix plus élevé quand la courbe de demande est moins élastique (plus pentue). Dans ce cas, cependant, la durée attendue correspondante sera la même, quelle que soit la pente $s$ de la courbe de durée. Nous reviendrons sur ce point dans le supplément Leibniz 22.3.1.