Leibniz

7.6.1 Recette marginale et coût marginal

Une manière de déterminer le prix et la quantité maximisant les profits d’une entreprise comme Beautiful Cars est de trouver le point auquel la courbe de demande est tangente à une courbe d’isoprofit. Ce supplément Leibniz introduit une méthode alternative qui utilise le revenu marginal et le coût marginal de l’entreprise.

Souvenez-vous que le profit de Beautiful Cars, $\Pi$, est égal aux recettes totales de la vente de voitures moins les coûts totaux de production :

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

La courbe de demande inverse, $P=f(Q)$, nous donne le prix maximal $P$ auquel $Q$ voitures peuvent être vendues. Nous pouvons donc écrire la recette comme une fonction de $Q$ seulement, que nous appelons la fonction de recette et désignons par $R(Q)$. Par conséquent :

$$R(Q) = f(Q) \times Q.$$

La recette à tout point de la courbe de demande peut être représentée par le rectangle rouge sous la courbe, comme dans la Figure 7.12a du texte, reproduite en tant que Figure 1 ci-dessous.

L’expression pour le profit, ci-dessus, peut être exprimée comme la différence entre la fonction de recette totale $R(Q)$ et le coût total $C(Q)$, qui est une fonction de la quantité produite $Q$ :

$$\Pi = R(Q) - C(Q)$$

Pour trouver la valeur de $Q$ qui maximise le profit, nous dérivons par rapport à $Q$, pour obtenir la condition de premier ordre $d\Pi/dQ =0$, qui implique que :

$$R'(Q) = C'(Q)$$

coût marginal (Cm)

L’effet sur le coût total de produire une unité additionnelle. Cela correspond à la pente de la fonction de coût total en tout point.

recette marginale

La hausse de recette obtenue en augmentant la quantité de Q à Q + 1.

Le terme $C'(Q)$ à gauche de l’équation correspond au coût marginal (Cm) de l’entreprise, c’est-à-dire le taux auquel le coût augmente quand la production augmente. De manière similaire, $R'(Q)$, la dérivée de la fonction de recette, est le taux auquel la recette augmente quand la production augmente, et est appelée la recette marginale (Rm). Par conséquent, la condition de premier ordre pour la maximisation du profit peut être écrite de la manière suivante :

$$\text{Rm}=\text{Cm}$$

Ainsi, la condition de premier ordre nous dit que quand $Q$ est à son niveau maximisant le profit, la recette marginale est égale au coût marginal.

La courbe de coût marginal (c’est-à-dire la fonction $C'(Q)$) montre comment le coût marginal change quand la production change. Dans le cas de Beautiful Cars, nous savons que le coût marginal augmente avec la production, donc la courbe de Cm est croissante. De manière similaire, la fonction $R'(Q)$ est la courbe de recette marginale, elle montre comment la recette marginale change quand la production change. Dans le texte nous avons tracé la courbe de Rm comme une courbe décroissante. La Figure 1 reproduit la partie du milieu de la Figure 7.12b du texte, et montre les deux courbes.

La quantité qui maximise le profit se trouve à l’intersection des deux courbes — le point E dans la Figure 2, où $R'(Q)=C'(Q)$. Puisque Beautiful cars a un Cm croissant et une Rm décroissante, il y a un seul point d’intersection.

Au point E, l’entreprise produit 32 voitures. Comme expliqué dans le graphique interactif de la Figure 7.12b du texte, on peut voir que ce point maximise les profits en remarquant que le coût marginal de produire plus de 32 voitures serait supérieur à la recette marginale générée (Cm > Rm), tandis que le contraire serait vrai si moins de 32 voitures étaient produites.

Cependant, remarquez que si les courbes avaient des pentes différentes, l’argument ne serait pas forcément vrai. Si la courbe de Cm était décroissante (ce qui peut arriver si l’entreprise réalise des économies d’échelle) et la courbe de Rm était croissante (ce qui serait inhabituel, mais peut être le cas pour certaines fonctions de demande), le point d’intersection correspondrait au point minimisant le profit (essayez de tracer les courbes et de vous expliquer pourquoi cela serait le cas).

En général, si l’on peut trouver une solution $Q^*$ à la condition de premier ordre Cm = Rm, on peut dire qu’il s’agit de la quantité maximisant le profit si Cm Q\lt Q^* et Cm > Rm quand $Q\gt Q^*$.

Le lien entre les deux méthodes

Nous montrons maintenant que la condition de premier ordre pour la maximisation du profit dérivée ci-dessus, $\text{Rm}=\text{Cm}$, est équivalente à la condition de premier ordre pour la maximisation du profit donnée dans le supplément Leibniz 7.5.1. En utilisant la règle de dérivation d’un produit pour dériver $R(Q) = Qf(Q)$, on peut voir que :

$$\text{Rm} = \frac{d}{dQ} (Qf(Q)) = f(Q) + Qf'(Q) = P+Qf'(Q)$$

Ainsi, la condition de premier ordre $\text{Rm} = \text{Cm}$ peut être écrite de la manière suivante :

$$P+Qf'(Q) = \text{Cm}$$

En réarrangeant,

$$f'(Q)= \frac{ \text{Cm} -P}{Q}$$

qui est la condition de premier ordre du Leibniz 7.5.1. Souvenez-vous qu’elle peut être interprétée comme l’égalisation de la pente de la courbe de demande et de la pente de la courbe d’isoprofit.

Nous avons tracé des graphiques très différents pour illustrer les deux formes de la condition de premier ordre. Cm = Rm est illustrée en traçant les courbes de Cm et de Rm et en trouvant leur intersection. L’autre forme peut être illustrée en traçant les courbes de demande et d’isoprofit et en trouvant leur point de tangence.

La méthode de Cm = Rm est souvent utile dans l’analyse du comportement de l’entreprise. Empiriquement, il est parfois plus simple d’estimer une fonction de recette qu’une fonction de demande. Plus tard dans cette unité, quand nous introduirons le concept d’élasticité de la demande, nous verrons une manière supplémentaire d’exprimer la condition de premier ordre (voir le supplément Leibniz 7.8.1). Cependant, quelle que soit la méthode utilisée, les conditions de premier ordre sont équivalentes, et les quantités qui résolvent les deux problèmes sont donc identiques.

Pour en savoir plus : Sections 6.4 et 8.1 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.