Leibniz

7.5.1 Le prix maximisant les profits

Pour maximiser ses profits, Beautiful Cars choisit un point sur sa courbe de demande où sa courbe d’isoprofit est tangente à la courbe de demande. Nous avons vu cela graphiquement et dans ce supplément Leibniz nous démontrons que le point de tangence est optimal en résolvant mathématiquement le problème de maximisation des profits.

La courbe de demande de Beautiful Cars est décroissante. Quand ils choisissent un prix, les dirigeants de l’entreprise savent que plus ils produisent de voitures, plus ils devront fixer un faible prix afin de les vendre. Dans le texte, nous avons représenté la courbe de demande par une droite décroissante, mais en réalité il est peu probable que ce soit une droite. Ici nous l’exprimons de manière plus générale par une fonction. Le prix maximum $P$ auquel $Q$ voitures peuvent être vendues est donné par :

$$P=f(Q)$$

où $f$ est une fonction strictement décroissante ($f'(Q)\lt0$). Quand nous écrivons la relation de demande de cette manière, avec le prix en fonction de la quantité, nous appelons $f$ la fonction de demande inverse. Quand elle est écrite dans l’autre sens, avec la quantité en fonction du prix, la fonction est appelée la fonction de demande.

Le profit de Beautiful Cars, $\Pi$, est égal à sa recette totale moins son coût total :

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

L’entreprise veut fixer le prix et la quantité afin de maximiser son profit, sous la contrainte que le prix est celui que les acheteurs sont prêts à payer. Le problème consiste donc à :

$\begin{align*}\text{choisir }Q \text{ et } P \text{ pour maximiser }PQ - C(Q) \text{ sous la contrainte }P = f(Q)\end{align*}$.

La manière la plus simple de résoudre ce problème d’optimisation est d’utiliser la méthode de substitution. Nous utilisons la contrainte pour substituer $P$, ce qui nous donne le profit comme une fonction ne dépendant que de $Q$ :

$$\Pi= Qf(Q) - C(Q)$$

Pour trouver la valeur de $Q$ qui maximise cette fonction, il faut dériver par rapport à $Q$ (en utilisant la règle de dérivation d’un produit, $\dfrac{d}{dQ}(Qf(Q)) =$ $f(Q) + Qf'(Q)$):

$$\frac{d\Pi}{dQ} = f(Q) + Qf'(Q) - C'(Q)$$

La condition de premier ordre pour l’optimisation est $d\Pi/dQ = 0$, qui peut être réécrite de la manière suivante :

$$f'(Q)= \frac{C'(Q) - f(Q)}{Q}$$

La quantité qui maximise les profits, $Q^*$, satisfait cette équation. Si nous connaissions la forme spécifique des fonctions $f(Q)$ et $C(Q)$, nous pourrions essayer de résoudre l’équation pour trouver $Q^*$ explicitement. Le prix maximisant les profits pourrait alors être calculé en utilisant la relation $P^*=f(Q^*)$.

Même sans connaître les fonctions, nous pouvons interpréter la condition de premier ordre. Nous savons que la valeur optimale de $Q$ se trouve sur la courbe de demande, donc $f(Q) = P$, et que $C'(Q)$ est le coût marginal (Cm). La condition de premier ordre peut donc être écrite comme :

$$f'(Q)= \frac{C'(Q) - f(Q)}{Q}$$

L’expression à gauche de cette équation correspond à la pente de la courbe de demande. Nous avons montré dans le supplément Leibniz 7.4.1 que l’expression de droite est la pente de la courbe d’isoprofit. Par conséquent la condition de premier ordre nous dit précisément que le choix maximisant les profits se trouve au point de tangence entre les courbes de demande et d’isoprofit. Pour Beautiful Cars, il s’agit du point E de la Figure 7.11, reproduite ci-dessous en tant que Figure 1.

Remarquez que l’expression à gauche de la condition de premier ordre, $f'(Q)$, est négative, donc l’expression à droite doit être négative aussi. Le point maximisant le profit se trouve sur la partie décroissante de la courbe d’isoprofit, où le prix excède le coût marginal.

Pour en savoir plus : Sections 6.4, 7.4, et 8.1 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.