Leibniz

6.6.1 La fonction de meilleure réponse du travailleur

Nous avons représenté l’interaction entre un travailleur et un employé comme un jeu dans lequel l’employeur choisit le salaire et le travailleur répond en choisissant le niveau d’effort qu’il fournit. Dans ce Leibniz, nous décrivons les propriétés mathématiques de la réponse du travailleur.

L’employée, Maria, valorise deux choses : son revenu et le fait de ne pas devoir fournir trop d’efforts au travail. Cependant, elle préfère le travail à son alternative de second rang, être au chômage – elle perçoit une rente d’emploi. Quand elle travaille, elle peut choisir le niveau d’effort qu’elle va fournir. Son niveau d’effort, $e$, correspond à la proportion de chaque heure qu’elle passe à travailler. Si elle ne fournit pas assez d’efforts, elle risque de se faire licencier et de perdre sa rente d’emploi. La valeur de la rente d’emploi dépend en particulier du salaire choisi par son employeur. Pour chaque niveau du salaire, $w$, elle choisit le niveau d’effort, $e$, constituant sa meilleure réponse à la situation dans laquelle elle se trouve. Sa courbe de meilleure réponse est une fonction qui nous donne le niveau d’effort choisi pour chaque valeur du salaire :

$$e = E(w)$$

Afin de modéliser complètement la décision de Maria, nous pourrions partir de sa fonction d’utilité et résoudre son problème de maximisation d’utilité pour trouver sa meilleure réponse à chaque salaire. Cependant, dans ce chapitre nous nous concentrons sur l’interaction entre Maria et son employeur. Nous allons donc passer cette étape et décrire simplement la forme attendue de sa fonction de meilleure réponse (afin de pouvoir la tracer) en réfléchissant à la manière dont elle prend sa décision.

La forme de la fonction de meilleure réponse

La fonction de meilleure réponse que nous avons tracée dans le texte a la forme de celle représentée dans la Figure 1. Le salaire choisi par l’employeur est reporté sur l’axe des abscisses et le niveau d’effort correspondant choisi par Maria est reporté sur l’axe des ordonnées.

Pourquoi pourrions-nous nous attendre à ce que la fonction ait cette forme ? Premièrement, si le salaire est égal au salaire de réserve, sa rente d’emploi est nulle et elle ne fournira donc pas d’effort. La fonction doit donc croiser l’axe des abscisses au niveau du salaire de réserve. Deuxièmement, Maria fournit plus d’efforts si elle est payée plus. C’est le cas parce que lorsque le salaire augmente, la rente d’emploi augmente aussi. Elle choisit donc un niveau d’effort plus élevé pour réduire le risque de se faire licencier et de perdre la rente d’emploi. La courbe est donc croissante. En d’autres mots, $E(w)$ est une fonction croissante de $w$ :

$$E'(w)\gt0$$

La troisième propriété que vous pouvez observer dans la Figure 1 est que la pente de la fonction $E(w)$ diminue à mesure que $w$ augmente. Cette propriété est vérifiée si, comme nous pouvons le supposer, le coût marginal (ou la désutilité marginale) de l’effort augmente avec le niveau d’effort. Plus le salaire est élevé, plus Maria fournit un niveau d’effort élevé — mais plus il devient difficile pour elle d’augmenter encore son niveau d’effort si le salaire augmente un peu plus. Cela signifie que la fonction $E(w)$ est concave et donc :

$$E''(w)\lt0$$

Autres influences sur la fonction de meilleure réponse

La rente d’emploi, qui incite Maria à fournir beaucoup d’efforts au travail, ne dépend pas seulement du salaire. La Section 6.5 du texte discutait en détail les déterminants de la rente d’emploi. La rente horaire correspond à la différence entre le salaire et le revenu de réserve de Maria (comme les allocations chômage versées par l’État ou la valeur de l’aide fournie par sa famille), moins la désutilité de l’effort. La rente totale correspond à la rente horaire multipliée par la durée attendue de la période de chômage (avant qu’elle ne retrouve un emploi).

Le choix du niveau d’effort de Maria dépendra aussi de l’intensité de la supervision par l’employeur. Plus la probabilité de se faire surprendre quand elle regarde Facebook est élevée, plus Maria est encouragée à travailler dur.

Ces facteurs supplémentaires qui ont une influence sur le niveau d’effort choisi déterminent la position de la courbe de meilleure réponse dans le plan $w-e$ et sont ce qu’on appelle des paramètres de la fonction de meilleure réponse $E$. Des modifications dans la valeur des paramètres déplacent la courbe de meilleure réponse. Par exemple, une hausse de la durée de la période de chômage augmentera le niveau d’effort fourni pour chaque salaire, déplaçant la courbe vers le haut. Une hausse des allocations chômage déplacera la courbe vers le bas.

Nous pouvons décrire les effets des facteurs autres que le salaire en les considérant comme des variables supplémentaires. La fonction de meilleure réponse de Maria peut être considérée comme une fonction de cinq variables plutôt qu’une :

$$e = E(w,\ a,\ p,\ b,\ d)$$

où

• $e$ et $w$ correspondent de nouveau à l’effort et au salaire, respectivement

• $a$ est une mesure de la désutilité de l’effort, découlant de la fonction d’utilité de Maria

• $p$ est la probabilité d’être surprise en train de faire autre chose que travailler

• $b$ correspond à son allocation chômage

• $d$ correspond à la durée du chômage

Pour des valeurs données des variables supplémentaires $a$, $p$, $b$ et $d$, la relation entre $e$ et $w$ a la forme décrite dans la Figure 1 — $E$ est une fonction croissante et concave de $w$. La seule différence est que nous l’exprimons en utilisant les dérivées partielles :

$$\frac{\partial E}{\partial w} \gt0, \, \frac{\partial^2 E}{\partial w^2} \lt0$$

Les effets des autres variables peuvent aussi être décrits par des dérivées partielles. De la discussion ci-dessus nous pouvons déduire que :

$$\frac{\partial E}{\partial a} \lt 0, \, \frac{\partial E}{\partial p} \gt 0, \, \frac{\partial E}{\partial b} \lt 0, \, \frac{\partial E}{\partial d} \gt 0$$

Ainsi l’effort de Maria est une fonction décroissante de la désutilité de l’effort et des allocations chômage, et une fonction croissante de la probabilité d’être surprise en train de faire autre chose que travailler et de la durée du chômage.

Pour en savoir plus : Section 14.1 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.