Leibniz

6.7.1 Profit, salaire et effort

Dans l’interaction entre Maria et son employeur, l’employeur choisit le salaire et le travailleur répond en choisissant son effort au travail. Dans ce Leibniz nous analysons mathématiquement la décision de fixation du salaire par l’employeur.

Comment l’employeur de Maria devrait-il choisir le salaire ? Nous montrerons qu’afin de maximiser le profit, il devrait choisir le salaire qui minimise le coût par unité d’effort, en prenant en compte la réponse de Maria.

Si l’entreprise emploie Maria pour $H$ heures par semaine et que son effort est $e$, elle effectue $N$ heures de travail productif, où $N=eH$. Supposez que la fonction de production de l’employeur soit $f(N)$ et que la production soit vendue à un prix $p$. Le profit de l’employeur, que nous désignons par la lettre grecque majuscule « pi », $\Pi$, peut être exprimé de la manière suivante :

$$\Pi=pf(eH)-wH$$

L’employeur est libre de choisir le salaire et le nombre d’heures pour lesquels Maria est employée ; Maria, elle, choisira son niveau d’effort. Ainsi l’employeur veut choisir $w$ et $H$ afin de maximiser $\Pi$, sachant que quel que soit le salaire choisi, Maria répondra en choisissant :

$$e = E(w)$$

Lorsque l’on pense à ce problème, il n’est pas évident que l’employeur doive choisir le salaire minimisant le coût de l’effort, $w/e$ — bien que nous ayons soutenu dans le texte que c’était le cas. Pour le voir mathématiquement, il est utile de réécrire le profit en termes de $w$ et $N$, plutôt que de $w$ et $H$ (souvenez-vous que $N$ est le facteur de production). Substituer $H=N/e$ donne :

$$\Pi=pf(N)-\frac{w}{e}N \quad\mbox{où } e=E(w)$$

Nous pouvons voir maintenant que le profit dépend du nombre d’unités de travail, $N$, et du coût par unité de travail (ou d’effort), $w/e$. Cette expression nous montre clairement que pour maximiser le profit, l’employeur doit fixer le salaire afin que le coût $w/e$ soit aussi faible que possible.

Choisir le salaire

Nous avons montré que l’employeur doit choisir le salaire qui minimise le coût par unité d’effort $w/e$, en prenant en compte le fait que Maria choisira $e=E(w)$. Par la règle de dérivation d’une fraction,

$$\frac{d}{dw} \left(\frac{w}{E(w)}\right) = \frac{E(w)-wE'(w)}{E(w)^2}$$

Nous obtenons la condition de premier ordre pour la minimisation du coût en égalisant cette expression à zéro. Ainsi le salaire qui minimise le coût, $w^*$, vérifie l’équation :

$$E'(w^*)= E(w^*)/w^*$$

En utilisant la notation alternative des dérivées, l’équation peut s’écrire :

$$\frac{de}{dw} = \frac{e}{w}$$

Cette condition pour le salaire est illustrée dans la Figure 1, qui est une reproduction de la Figure 6.6 du texte. Les lignes droites sont les droites d’isocoût pour l’effort, qui ont une pente égale à $e/w$. Au point A, l’équation ci-dessus est vérifiée : la pente de la droite d’isocoût, $e/w$, est égale à la pente de la courbe de meilleure réponse du travailleur, $de/dw$. Pour la courbe de meilleure réponse représentée dans ce graphique, $w^*=12$ et le niveau d’effort correspondant est $E(w^*)$ =0,5.

Dans le graphique, les droites d’isocoût plus pentues correspondent à des coûts par unité d’effort plus faibles ($e/w$ plus élevé, $w/e$ plus faible). Nous pouvons donc voir que le point A est le point sur la courbe de meilleure réponse minimisant le coût. Pour vérifier mathématiquement que le salaire satisfaisant la condition du premier ordre, $w^*$, correspond à un minimum de la fonction $w/E(w)$, nous devons déterminer la dérivée seconde et vérifier qu’elle est positive quand $w=w^*$. Si vous le faites, vous trouverez que la forme concave de la courbe de meilleure réponse, exprimée mathématiquement par la condition $E’’(w)\lt0$, garantit que $w^*$ minimise le coût.

Choisir les heures de travail

Après avoir déterminé le salaire maximisant le profit et minimisant le coût, $w^*$, l’employeur peut décider combien d’unités d’effort au travail $N$ sont nécessaires afin de maximiser le profit. Si le salaire est fixé à $w^*$, le profit est :

$$\Pi=pf(N)-\frac{w^*}{E(w^*)}N$$

En dérivant par rapport à $N$ et en égalisant la dérivée à zéro, nous obtenons une équation déterminant la valeur de $N^*$ qui maximise le profit :

$$pf'(N^*) = \frac{w^*}{E(w^*)}$$

Cette équation a une interprétation économique. $f’(N)$ correspond au produit marginal d’une unité supplémentaire d’effort au travail, donc $pf’(N)$ correspond au revenu marginal que l’employeur obtient d’une unité d’effort au travail. L’employeur maximise le profit en choisissant $N$ de sorte que le revenu marginal soit égal au coût marginal d’une unité supplémentaire, $w^*/E(w^*)$.

Enfin, après avoir trouvé le nombre optimal d’unités d’effort au travail, $N^*$, et sachant que Maria choisira un niveau d’effort $E(w^*)$, il peut trouver le nombre d’heures pour lesquelles il doit l’employer à partir de la relation $H=N/e$.

Un exemple

Supposons que le salaire de réserve de Maria soit $w_r$ (une constante positive) et que sa fonction de meilleure réponse soit :

$$E(w) = k(w-w_r)^\alpha \quad (w\gt w_r)$$

où $k$ et $\alpha$ sont aussi des constantes positives, avec $\alpha \lt1$. La condition de premier ordre pour la détermination du salaire maximisant le profit, $E'(w^* )= E(w^* )/w^*$, est :

$$\alpha k(w^* -w_r)^{\alpha-1} = k(w^*-w_r)^\alpha /w^*$$

En divisant par l’expression de droite nous obtenons $\alpha w^*/(w^* -w_r) =1$ et par conséquent :

$$w^* = \frac{w_r}{1 - \alpha}$$

Remarquez que $w^*$ dépend de $w_r$ et $\alpha$ mais pas de $k$. Les nombres dans la Figure 1 correspondent au cas où $w_r =6$, $\alpha=0,5$ et $k = 0,5/\sqrt{6}$.

L’employeur fixera $w^* = w_r/(1 - \alpha)$ et Maria choisira son niveau d’effort en conséquence :

$$E(w^*) = k \left(\frac{\alpha w_r}{1 - \alpha}\right)^\alpha$$

Pour en savoir plus : Sections 7.1 et 8.1 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.