Leibniz

5.4.2 Le choix d’Angela concernant ses heures de travail

Angela a des préférences quasi-linéaires concernant son temps de travail et sa consommation de céréales. Dans ce Leibniz, nous analysons les choix qu’elle fait en tant que fermière indépendante. Elle choisit son temps de travail afin de maximiser son utilité, où la quantité de céréales produites dépend, à travers sa fonction de production, de sa quantité de travail.

Angela est une fermière qui divise sa journée entre son travail et son temps libre. Son travail produit des céréales, qu’elle consomme également. Ses heures quotidiennes de temps libre sont indiquées par $t$ et le nombre de boisseaux de céréales qu’elle consomme par jour est indiqué par $c$. Nous supposons qu’Angela a des préférences quasi-linéaires, représentées dans le Leibniz 5.4.1 par la fonction d’utilité :

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

où la fonction $v$ est croissante et concave. Souvenez-vous que son taux marginal de substitution (TMS) est $v'(t)$.

Supposez que la quantité de céréales qu’Angela peut produire et consommer par jour, $c$, soit une fonction de son temps libre $t$ :

$$c=g(t)$$

Autrement dit, c’est sa frontière des possibles. Remarquez que la notation diffère légèrement de celle que nous avons utilisée précédemment. Nous avions commencé par la fonction de production $f(h)$ qui reliait la production aux heures de travail, et la frontière des possibles était donc écrite $c=f(24-t)$.

Puisque la frontière des possibles doit avoir une pente positive, $g'(t)\lt0$. La valeur absolue de la pente de la frontière, ou le taux marginal de transformation (TMT), est $-g'(t)$. Pour que la frontière ait la forme concave habituelle déterminée par les rendements marginaux décroissants des heures de travail, il est nécessaire que $g''(t)\lt0$.

Le problème de maximisation sous contrainte d’Angela consiste à choisir $t$ et $c$ pour maximiser $v(t) + c$, sous la contrainte $c =g(t)$.

La condition de premier ordre pour l’optimum peut être trouvée en appliquant la formule habituelle $\text{TMT}=\text{TMS}$ (souvenez-vous du Leibniz 3.5.1) ou par substitution, qui implique dans ce cas de choisir $t$ afin de maximiser $v(t) + g(t)$. Quelle que soit la manière utilisée, nous obtenons l’équation :

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Puisque $v''(t)$ et $g''(t)$ sont tous deux négatifs, l’expression de gauche est une fonction décroissante de $t$. Nous pouvons en déduire qu’il n’y a qu’une valeur de $t$ qui satisfait cette équation. C’est le choix optimal de temps libre d’Angela, que nous appelons $t^*$. Nous trouvons la production et la consommation optimales à partir de la frontière des possibles : $c^* = g(t^*)$. Cette allocation optimale est représentée par le point P sur la Figure 1 ci-dessous. La courbe bleue est une courbe d’indifférence et la courbe violette est la frontière des possibles d’Angela.

Un exemple

Nous illustrons l’analyse ci-dessus en utilisant des fonctions d’utilité et de production spécifiques. Supposez que dans la fonction d’utilité quasi-linéaire d’Angela $U(t,\ c) = v(t) + c$, la fonction $v(t)$ soit donnée par :

$$v(t) = 4\sqrt{t}$$

C’est un cas particulier de l’exemple d’utilité quasi-linéaire que nous avons décrit dans le supplément Leibniz 5.4.1 : $U(t,\ c)= b t^\alpha+c$, où $b=4$ et $\alpha= 1/2$.

Deuxièmement, supposez que la fonction de production d’Angela soit $y=2\sqrt{2h}$, où $h$ désigne les heures de travail. Si elle a $24$ heures dans la journée à répartir entre le travail et le temps libre, $h + t =24$ et l’équation de la frontière des possibles est $y=g(t)$, où :

$$g(t) = 2\sqrt{48 -2t}$$

Vous pouvez vérifier que la frontière des possibles est décroissante ($g'(t)\lt0$) et concave ($g''(t)\lt0$).

Comme ci-dessus, nous pouvons trouver les taux marginaux de transformation et de substitution à partir des dérivées de $g$ et $v$ :

$$\text{TMT} = -g'(t) = \frac{2}{\sqrt{48 -2t}}, \quad \text{TMS} = v'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}}$$

$\\\\$À l’allocation optimale, $\text{TMT} = \text{TMS}$, donc $48 -2t = t$. Angela choisit donc d’avoir $16$ heures de temps libre par jour et de travailler pendant $8$ heures. D’après la fonction de production, la consommation quotidienne de céréales d’Angela est de $2\sqrt{2 \times 8} = 8$ boisseaux.

Pour en savoir plus : Sections 17.1 à 17.3 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.