Leibniz

5.7.1 La elección de horas de trabajo de Ángela cuando tiene que pagar alquiler

En el Leibniz 5.4.2 se resolvió el problema de optimización restringida de Ángela cuando tomaba decisiones como agricultora independiente. Ahora se analiza el caso en el que Bruno es el propietario de la tierra y Ángela tiene que pagar un alquiler para producir el grano. Veremos que las preferencias cuasilineales de Ángela tienen consecuencias importantes para el efecto del arrendamiento en su decisión.

Como antes, las preferencias de Ángela se representan por una función de utilidad cuasilineal:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

donde $t$ son sus horas diarias de ocio y $c$ la cantidad de grano que consume diariamente. La función $v$ es creciente y cóncava. Su frontera factible muestra cómo la cantidad de grano que puede consumir diariamente, $y$, depende del ocio que tenga.

Cuando Ángela era una agricultora independiente, podía consumir todo el grano que producía. Su frontera factible era $c=g(t)$, donde $g'(t)\lt0$ y $g''(t)\lt0$ y su problema de optimización restringida era elegir los valores de $t$ y $c$ que maximizaran $v(t) + c$, sujeto a la restricción $c =g(t)$, lo que nos daba la condición de primer orden:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Su elección óptima de ocio, $t^*$, es el valor de $t$ que cumple la ecuación anterior. Recuerde que su TMS es $v'(t)$, su TMT es $-g'(t)$ y la elección óptima se da en TMS = TMT.

¿Cómo cambia el problema cuando Ángela paga un alquiler?

Suponga que tiene que pagar $c_0$ unidades de grano por día a su arrendador Bruno a cambio del derecho a explotar su granja. Esto significa que el consumo de grano de Ángela es menor que su producción. Si tiene $t$ horas de ocio, produce $g(t)$ quintales de grano como antes, pero ahora su consumo será:

$$c= g(t) -c_0$$

En este caso, su problema de optimización restringida es elegir los valores de $t$ y $c$ que maximicen $v(t) + c$ sujeto a la restricción $c =g(t)-c_0$.

Pero la condición de primer orden para su elección óptima de tiempo de ocio es exactamente la misma que antes:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

de manera que elegirá exactamente la misma cantidad de ocio $t^*$ que cuando no tenía que pagar el alquiler. Por supuesto, esto significa que producirá la misma cantidad de grano que antes, aunque su consumo será inferior en la cantidad del alquiler que tiene que pagar.

¿Por qué sucede esto? Cuando Ángela tiene que pagar el alquiler, cuenta con $t$ horas de ocio y paga $c_0$ a Bruno, por lo que su consumo será menor. Ahora bien, el ritmo al que puede convertir el ocio en consumo para sí misma no cambia. Una hora adicional de trabajo le dará la misma cantidad de grano adicional que cuando no tenía que pagar alquiler, por lo que su TMT sigue siendo $g'(t)$. Y su menor consumo tampoco afecta su tasa marginal de sustitución, porque sus preferencias son cuasilineales: su TMS es $v'(t)$ independientemente de su consumo de grano.

El efecto del pago de un alquiler se muestra en la figura 1. La frontera factible original de Ángela como agricultora independiente, $c=g(t)$, es la curva roja superior. En ese caso, su elección óptima de tiempo libre y consumo se halla en P. Cuando paga un alquiler $c_0$, su frontera factible para el consumo y el ocio se desplaza verticalmente hacia abajo en $c_0$ unidades. Esta es la curva roja inferior en el diagrama: $c=g(t)-c_0$.

El nuevo punto óptimo de Ángela es Q: sigue teniendo $t^*$ horas diarias de ocio y ahora su consumo diario de grano es $c^* - c_0$ unidades. Se puede ver el efecto de la cuasilinealidad en la figura: las curvas de indiferencia cuasilineales tienen la misma pendiente al movernos hacia arriba o hacia abajo de manera vertical.

Se ha demostrado que Ángela elegirá la misma cantidad de tiempo libre sea cual sea el nivel del alquiler $c_0$. Toma la misma decisión si el alquiler es cero –el caso del agricultor independiente– e incluso haría lo mismo si $c_0$ fuese negativo: por ejemplo, si no tuviera propietario al que pagar el alquiler y recibiera una subvención del gobierno para trabajar en su granja.

El resultado de que el pago del alquiler no cambie la distribución de tiempo de Ángela significa que cualquier conflicto de distribución entre ella y Bruno solo afecta la cantidad de grano que cada uno de ellos llega a consumir. Dadas sus preferencias cuasilineales, las horas de trabajo de Ángela se determinan independientemente de cómo se distribuya el grano, por lo que el tamaño de la torta y cómo se divide son cuestiones totalmente distintas. En el capítulo 5 adoptamos este supuesto de cuasilinealidad para que podamos pensar en estas dos cuestiones por separado.

Puede leer más sobre el tema en las secciones 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.